베르누이 수

개요

베르누이 수는 수학의 많은 곳에서 마주치게 되는, 중요한 수열
- 정수에서의 리만제타함수의 값
- 거듭제곱의 합을 구하는 공식
베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.

\[\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\]

테이블

처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다

\begin{array}{c|c} n & B_n \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & -\frac{1}{2} \\ 2 & \frac{1}{6} \\ 3 & 0 \\ 4 & -\frac{1}{30} \\ 5 & 0 \\ 6 & \frac{1}{42} \\ 7 & 0 \\ 8 & -\frac{1}{30} \\ 9 & 0 \\ 10 & \frac{5}{66} \\ 11 & 0 \\ 12 & -\frac{691}{2730} \\ 13 & 0 \\ 14 & \frac{7}{6} \\ 15 & 0 \\ 16 & -\frac{3617}{510} \\ 17 & 0 \\ 18 & \frac{43867}{798} \\ 19 & 0 \\ 20 & -\frac{174611}{330} \end{array}

베르누이 수의 성질

$B_m=\frac{N_m}{D_m}$ (여기서 $N_m, D_m$은 서로소) 으로 쓰면 $D_m$은 $p-1|m$ 을 만족하는 모든 소수 $p$의 곱으로 주어짐
- $D_4=30 = 2 \times 3 \times 5$
- $D_{10}= 66 = 2 \times 3 \times 11$
- $D_{12}= 2730 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13$

멱급수와 베르누이 수

삼각함수의 급수 표현

사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.

$$ \begin{align} \tan x &= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\\ \cot x &= \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \end{align} $$

쌍곡함수의 급수표현

쌍곡함수에 대해서도 유사한 결과를 얻는다

$$ \begin{align} \tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},& \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\\ \coth x &= \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!},& 0 < \left |x \right | < \pi \end{align} $$

로바체프스키함수

로바체프스키와 클라우센 함수\[\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}\]

다이감마 함수

다이감마 함수(digamma function)\[\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}\]

베르누이 수

목차

개요

테이블

베르누이 수의 성질

멱급수와 베르누이 수

삼각함수의 급수 표현

쌍곡함수의 급수표현

로바체프스키함수

다이감마 함수

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