Ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤 문제 (완전제곱수의 역수들의 합)

수학노트
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개요

  • 제타 함수의 정수에서의 값을 구하는 것은 수학적으로 흥미로운 문제
  • 다음은 오일러가 처음으로 계산해 내어 매우 유명한 결과로 수학의 아름다운 정리 중 하나로 꼽힘.

\[\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}\]

\[\frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264365\cdots\]



푸리에 급수를 이용한 증명

증명

함수 \(f(x)=x^2\), \(-\pi < x < \pi\)의 푸리에 급수는 다음과 같이 주어진다 \[f(x)\sim \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2} \cos(nx)\] \(x=\pi\)에서 양변을 계산하면, \[\pi^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\] 따라서 \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\]. ■



복소함수론의 유수정리를 이용하는 증명

증명

\(\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{2}}dz\)

\(C_{R}\)는 원점을 중심으로 반지금이 \(R\) 인 원

이때 \(R\)이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.

유수정리를 사용하자.

0이 아닌 정수 \(k\)에 대하여 \(z\approx k\) 이면, \(\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}\)

한편\(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{2}}\)의 0이 아닌 정수 \(k\)에서의 유수(residue)는 \(\frac{1}{k^{2}}\)로 주어진다.

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)(코탄젠트 참조)

를 이용하면 \(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{2}}\)의 0 에서의 유수는 \(-\pi^{2}/3\) 임을 알 수 있다.

그러므로 모든 유수의 합은

\(-\frac{\pi^2}{3}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=0\)

따라서

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\). ■




이중적분을 통한 증명

  • 다음과 같은 이중적분을 구해서, 바젤문제를 해결하는 방법\[\zeta (2)=\frac{4}{3} \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy\]
  • 이중적분과 바젤문제



오일러의 방법

  • 사인함수에 대하여 근과계수의 관계를 적용



오일러-맥클로린 공식을 활용한 오일러의 수치계산

\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\)

\(f(x)=\frac{1}{x^2}\)에 대해 적용함.

\(\int f(x)\,dx=-\frac{1}{x}\), \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), \(f'(x)=-\frac{2}{x^3}\), \(f^{(2)}(x)=\frac{6}{x^4}\), \(f^{(3)}(x)=-\frac{24}{x^5}\), \(f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{k!}{x^{k+1}}\)

\(\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}B_k(\frac{1}{n^{k+1}}-1) \)

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2} = -(\frac{1}{n}-1) -\frac{1}{2}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{6}(\frac{1}{n^3}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^5}-1)-\frac{1}{42}(\frac{1}{n^7}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^9}-1) \cdots\)

여기서 오일러는 \(n\to\infty\) 일때 다음식이 참이라고 가정(사실은 발산함)

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{30}+\frac{1}{42}-\frac{1}{30}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\)

그 다음, \(n=10\) 인 경우에 다음식을 계산하여, 값을 비교함.

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2}+\frac{1}{n}+ \frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}-\frac{1}{30n^5}+\frac{1}{42n^7}-\frac{1}{30n^9}\)

\(1.6449340668474930714\cdots=1.5397677311665406904\cdots + 0.10516633568095238095\cdots\)

\(\frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264365\cdots\)



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  • [{'LOWER': 'basel'}, {'LEMMA': 'problem'}]
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