"Ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤 문제 (완전제곱수의 역수들의 합)"의 두 판 사이의 차이
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* 다음은 오일러가 처음으로 계산해 내어 매우 유명한 결과로 수학의 아름다운 정리 중 하나로 꼽힘. | * 다음은 오일러가 처음으로 계산해 내어 매우 유명한 결과로 수학의 아름다운 정리 중 하나로 꼽힘. | ||
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<math>\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2} = -(\frac{1}{n}-1) -\frac{1}{2}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{6}(\frac{1}{n^3}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^5}-1)-\frac{1}{42}(\frac{1}{n^7}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^9}-1) \cdots</math> | <math>\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2} = -(\frac{1}{n}-1) -\frac{1}{2}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{6}(\frac{1}{n^3}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^5}-1)-\frac{1}{42}(\frac{1}{n^7}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^9}-1) \cdots</math> | ||
| − | 여기서 오일러는 <math>n\to\infty</math> | + | 여기서 오일러는 <math>n\to\infty</math> 일때 다음식이 참이라고 가정(사실은 발산함) |
<math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{30}+\frac{1}{42}-\frac{1}{30}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}</math> | <math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{30}+\frac{1}{42}-\frac{1}{30}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}</math> | ||
| − | 그 다음, | + | 그 다음, <math>n=10</math> 인 경우에 다음식을 계산하여, 값을 비교함. |
<math>\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2}+\frac{1}{n}+ \frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}-\frac{1}{30n^5}+\frac{1}{42n^7}-\frac{1}{30n^9}</math> | <math>\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2}+\frac{1}{n}+ \frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}-\frac{1}{30n^5}+\frac{1}{42n^7}-\frac{1}{30n^9}</math> | ||
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<math>\frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264365\cdots</math> | <math>\frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264365\cdots</math> | ||
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* http://twistedone151.wordpress.com/2010/11/08/monday-math-142/ | * http://twistedone151.wordpress.com/2010/11/08/monday-math-142/ | ||
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* [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]] | * [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]] | ||
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| − | + | ==사전형태의 자료== | |
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러] | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem | * http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem | ||
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| − | + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | |
| + | * Chris Budd, [http://plus.maths.org/content/how-add-quickly How to add up quickly] | ||
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| + | ==관련논문== | ||
| + | * Mats Vermeeren, A dynamical solution to the Basel problem, http://arxiv.org/abs/1506.05288v2 | ||
| + | * Vermeeren, Mats. “A Dynamical Solution to the Basel Problem.” arXiv:1506.05288 [math], June 17, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.05288. | ||
| + | * Moreno, Samuel G. ‘A One-Sentence and Truly Elementary Proof of the Basel Problem’. arXiv:1502.07667 [math], 6 February 2015. http://arxiv.org/abs/1502.07667. | ||
| + | * http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2687 | ||
* [http://www.jstor.org/stable/2319041 Euler and the Zeta Function]Raymond Ayoub, The American Mathematical Monthly, Vol. 81, No. 10 (Dec., 1974), pp. 1067-1086 | * [http://www.jstor.org/stable/2319041 Euler and the Zeta Function]Raymond Ayoub, The American Mathematical Monthly, Vol. 81, No. 10 (Dec., 1974), pp. 1067-1086 | ||
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| + | [[분류:원주율]] | ||
| + | [[분류:리만 제타 함수]] | ||
| + | [[분류:상수]] | ||
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| + | ==메타데이터== | ||
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q810431 Q810431] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'basel'}, {'LEMMA': 'problem'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 04:55 기준 최신판
개요
- 제타 함수의 정수에서의 값을 구하는 것은 수학적으로 흥미로운 문제
- 다음은 오일러가 처음으로 계산해 내어 매우 유명한 결과로 수학의 아름다운 정리 중 하나로 꼽힘.
\[\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}\]
\[\frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264365\cdots\]
푸리에 급수를 이용한 증명
- 푸리에 급수 항목 참조
- 증명
함수 \(f(x)=x^2\), \(-\pi < x < \pi\)의 푸리에 급수는 다음과 같이 주어진다 \[f(x)\sim \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2} \cos(nx)\] \(x=\pi\)에서 양변을 계산하면, \[\pi^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\] 따라서 \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\]. ■
복소함수론의 유수정리를 이용하는 증명
- 정수에서의 리만제타함수의 값 에서 소개된 방법
- 증명
\(\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{2}}dz\)
\(C_{R}\)는 원점을 중심으로 반지금이 \(R\) 인 원
이때 \(R\)이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.
유수정리를 사용하자.
0이 아닌 정수 \(k\)에 대하여 \(z\approx k\) 이면, \(\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}\)
한편\(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{2}}\)의 0이 아닌 정수 \(k\)에서의 유수(residue)는 \(\frac{1}{k^{2}}\)로 주어진다.
\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)(코탄젠트 참조)
를 이용하면 \(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{2}}\)의 0 에서의 유수는 \(-\pi^{2}/3\) 임을 알 수 있다.
그러므로 모든 유수의 합은
\(-\frac{\pi^2}{3}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=0\)
따라서
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\). ■
이중적분을 통한 증명
- 다음과 같은 이중적분을 구해서, 바젤문제를 해결하는 방법\[\zeta (2)=\frac{4}{3} \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy\]
- 이중적분과 바젤문제
오일러의 방법
- 사인함수에 대하여 근과계수의 관계를 적용
오일러-맥클로린 공식을 활용한 오일러의 수치계산
- 오일러-맥클로린 공식 을 활용하여, 위의 값을 확인해보자.
\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\)
\(f(x)=\frac{1}{x^2}\)에 대해 적용함.
\(\int f(x)\,dx=-\frac{1}{x}\), \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), \(f'(x)=-\frac{2}{x^3}\), \(f^{(2)}(x)=\frac{6}{x^4}\), \(f^{(3)}(x)=-\frac{24}{x^5}\), \(f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{k!}{x^{k+1}}\)
\(\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}B_k(\frac{1}{n^{k+1}}-1) \)
\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2} = -(\frac{1}{n}-1) -\frac{1}{2}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{6}(\frac{1}{n^3}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^5}-1)-\frac{1}{42}(\frac{1}{n^7}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^9}-1) \cdots\)
여기서 오일러는 \(n\to\infty\) 일때 다음식이 참이라고 가정(사실은 발산함)
\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{30}+\frac{1}{42}-\frac{1}{30}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\)
그 다음, \(n=10\) 인 경우에 다음식을 계산하여, 값을 비교함.
\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2}+\frac{1}{n}+ \frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}-\frac{1}{30n^5}+\frac{1}{42n^7}-\frac{1}{30n^9}\)
\(1.6449340668474930714\cdots=1.5397677311665406904\cdots + 0.10516633568095238095\cdots\)
\(\frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264365\cdots\)
재미있는 사실
관련된 항목들
- 거듭제곱의 합을 구하는 공식
- 리만제타함수와 리만가설
- 오일러수
- 오일러-맥클로린 공식
- 파이가 아니라 2파이다?
- 다이로그 함수(dilogarithm )
- 다이로그 항등식 (dilogarithm identities)
사전형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- Chris Budd, How to add up quickly
관련논문
- Mats Vermeeren, A dynamical solution to the Basel problem, http://arxiv.org/abs/1506.05288v2
- Vermeeren, Mats. “A Dynamical Solution to the Basel Problem.” arXiv:1506.05288 [math], June 17, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.05288.
- Moreno, Samuel G. ‘A One-Sentence and Truly Elementary Proof of the Basel Problem’. arXiv:1502.07667 [math], 6 February 2015. http://arxiv.org/abs/1502.07667.
- http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2687
- Euler and the Zeta FunctionRaymond Ayoub, The American Mathematical Monthly, Vol. 81, No. 10 (Dec., 1974), pp. 1067-1086
메타데이터
위키데이터
- ID : Q810431
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'basel'}, {'LEMMA': 'problem'}]