베르누이 수

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2014년 4월 22일 (화) 08:45 판
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개요

\[\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\]

테이블

  • 처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다

\begin{array}{c|c} n & B_n \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & -\frac{1}{2} \\ 2 & \frac{1}{6} \\ 3 & 0 \\ 4 & -\frac{1}{30} \\ 5 & 0 \\ 6 & \frac{1}{42} \\ 7 & 0 \\ 8 & -\frac{1}{30} \\ 9 & 0 \\ 10 & \frac{5}{66} \\ 11 & 0 \\ 12 & -\frac{691}{2730} \\ 13 & 0 \\ 14 & \frac{7}{6} \\ 15 & 0 \\ 16 & -\frac{3617}{510} \\ 17 & 0 \\ 18 & \frac{43867}{798} \\ 19 & 0 \\ 20 & -\frac{174611}{330} \end{array}


베르누이 수의 성질

  • \(B_m=\frac{N_m}{D_m}\) (여기서 \(N_m, D_m\)은 서로소) 으로 쓰면 \(D_m\)은 \(p-1|m\) 을 만족하는 모든 소수 \(p\)의 곱으로 주어짐
    • \(D_4=30 = 2 \times 3 \times 5\)
    • \(D_{10}= 66 = 2 \times 3 \times 11\)
    • \(D_{12}= 2730 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13\)


멱급수와 베르누이 수

삼각함수의 급수 표현

  • 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
  • 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.

$$ \begin{align} \tan x &= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\\ \cot x &= \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \end{align} $$


쌍곡함수의 급수표현

  • 쌍곡함수에 대해서도 유사한 결과를 얻는다

$$ \begin{align} \tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},& \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\\ \coth x &= \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!},& 0 < \left |x \right | < \pi \end{align} $$


로바체프스키함수


다이감마 함수



관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


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