"차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)"의 두 판 사이의 차이

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<h5>개요</h5>
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==개요==
  
 
* 수열의 합을 다루는 데 유용한 테크닉
 
* 수열의 합을 다루는 데 유용한 테크닉
 
* finite calculus 라는 이름으로 불리기도 함.
 
* finite calculus 라는 이름으로 불리기도 함.
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*  미적분학의 개념과 대응되는 점이 있음.<br>
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*  미적분학의 개념과 대응되는 점이 있음.
 
** 계차수열 ~ 미분
 
** 계차수열 ~ 미분
 
** 부분합 ~ 적분
 
** 부분합 ~ 적분
  
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<h5>계차수열</h5>
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F, f 는 다음 조건을 만족하는 두 수열이다.
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==계차수열과 부분합==
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* [[계차수열]]
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* 두 수열 <math>F, f</math> 는 <math>\Delta F=f</math>을 만족하는 두 수열이다. 즉 <math>f(n)=F(n+1)-F(n)</math>
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* 미분의 역연산을 부정적분으로 정의하듯이, 계차수열이 f 가 되는 수열 F를 <math>\Delta F=f</math> 로 표현하자.
  
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<math>\Delta F=f</math> 즉 <math>f(n)=F(n+1)-F(n)</math>
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;정리
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두 수열 <math>F, f</math>가 <math>\Delta F=f</math>를 만족하면, 다음이 성립한다
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:<math>\sum_{n=a}^{b-1}f(n)=F(b)-F(a)</math>
  
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미분의 역연산을 부정적분으로 정의하듯이, 계차수열이 f 가 되는 수열 F를 <math>\Delta F=f</math> 로 표현하자.
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;증명
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:<math>F(b)-F(a)=F(b)-F(b-1)+F(b-1)-F(b-2)+F(b-2)+\cdots+F(a+1)-F(a)=f(b-1)+f(b-2)+\cdots f(a)= \sum_{n=a}^{b-1}f(n)</math>
  
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* 수열 <math>f</math> 에 대하여 <math>\sum_{n=a}^{b-1}f(n)</math> 는 정적분에 대응되는 개념으로 이해할 수 있다
  
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<h5>수열의 합</h5>
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==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
  
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수열 f 에 대하여
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* [[수열]]
  
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<math>\sum_{n=a}^{b-1}f(n)</math>
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는 정적분에 대응되는 개념으로 이해할 수 있다
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==관련된 항목들==
  
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<h5>Calculus of Finite Dfference의 기본정리</h5>
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* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
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* [[생성함수]]
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* [[스털링 공식]]
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* [[다이감마 함수(digamma function)]]
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* [[미적분학의 기본정리]]
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* [[q-적분 (잭슨 적분, Jackson integral)]]
  
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두 수열 F, f 가 <math>\Delta F=f</math>를 만족하면,
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<math>\sum_{n=a}^{b-1}f(n)=F(b)-F(a)</math>
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* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
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* [[베르누이 다항식]]
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* [[베르누이 수]]
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* [[오일러-맥클로린 공식]]
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* [[오일러수]]
  
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가 성립한다.
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUFhNMHNJay00VnM/edit?usp=drivesdk
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==사전형태의 자료==
  
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<h5>증명</h5>
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* http://en.wikipedia.org/wiki/finite_calculus
  
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<math>F(b)-F(a)=F(b)-F(b-1)+F(b-1)-F(b-2)+F(b-2)+\cdots+F(a+1)-F(a)=f(b-1)+f(b-2)+\cdots f(a)= \sum_{n=a}^{b-1}f(n)</math>
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==메모==
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* [[1992824/attachments/894886|The Finite Calculus]]
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** From the book '<em style="">A Primer of Analytic Number Theory</em>' 1.2
  
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==관련논문==
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* [http://www.jstor.org/stable/2686229 Using the Finite Difference Calculus to Sum Powers of Integers]
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** Lee Zia, <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 22, No. 4 (Sep., 1991), pp. 294-300
  
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* [http://www.jstor.org/stable/2686717 Sums and Differences vs. Integrals and Derivatives]
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** Gilbert Strang, <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 21, No. 1 (Jan., 1990), pp. 20-27
  
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* [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)|Calculus of Finite differences]]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2970749 An Elementary Exposition of the Theory of Finite Differences]
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** [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]<br>
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** Saul Epsteen, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 11, No. 6/7 (Jun. - Jul., 1904), pp. 131-136
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** [[베르누이 수|베르누이 다항식]]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/3026439 Telescoping Sums and the Summation of Sequences]
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** [[오일러-맥클로린 공식]]
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** G. Baley Price, <cite>The Two-Year College Mathematics Journal</cite>, Vol. 4, No. 2 (Spring, 1973), pp. 16-29
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* [http://www.jstor.org/stable/2690625 The Euler-Maclaurin and Taylor Formulas: Twin, Elementary Derivations]
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** Vito Lampret, <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 74, No. 2 (Apr., 2001), pp. 109-122
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* [http://www.jstor.org/stable/2301097 An Euler Summation Formula]
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** Irwin Roman, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 43, No. 1 (Jan., 1936), pp. 9-21
  
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<h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
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* [[수열]]
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==블로그==
  
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* http://cjackal.tistory.com/154finite+calculus
  
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<h5>관련된 대학원 과목</h5>
 
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
 
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* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식|Sum of powers]]
 
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* [[생성함수]]
 
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* [[스털링 공식]]
 
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* [[다이감마 함수(digamma function)|Digamma 함수]]
 
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* [[미적분학의 기본정리]]
 
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<h5>표준적인 도서 및 추천도서</h5>
 
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* http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
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<h5>위키링크</h5>
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/finite_calculus
 
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<h5>참고할만한 자료</h5>
 
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* [[1992824/attachments/894886|The Finite Calculus]]<br>
 
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** From the book '<em style="">A Primer of Analytic Number Theory</em>' 1.2
 
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* [http://www.jstor.org/stable/2686229 Using the Finite Difference Calculus to Sum Powers of Integers]<br>
 
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** Lee Zia
 
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** <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 22, No. 4 (Sep., 1991), pp. 294-300
 
  
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* [http://www.jstor.org/stable/2686717 Sums and Differences vs. Integrals and Derivatives]<br>
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[[분류:수열]]
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** Gilbert Strang
 
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** <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 21, No. 1 (Jan., 1990), pp. 20-27
 
  
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* [http://www.jstor.org/stable/2970749 An Elementary Exposition of the Theory of Finite Differences]<br>
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==메타데이터==
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** Saul Epsteen
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===위키데이터===
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** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 11, No. 6/7 (Jun. - Jul., 1904), pp. 131-136
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2068418 Q2068418]
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* [http://www.jstor.org/stable/3026439 Telescoping Sums and the Summation of Sequences]<br>
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===Spacy 패턴 목록===
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** G. Baley Price
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* [{'LOWER': 'finite'}, {'LEMMA': 'difference'}]
−
** <cite>The Two-Year College Mathematics Journal</cite>, Vol. 4, No. 2 (Spring, 1973), pp. 16-29
 
−
* [http://www.jstor.org/stable/2690625 The Euler-Maclaurin and Taylor Formulas: Twin, Elementary Derivations]<br>
 
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** Vito Lampret
 
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** <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 74, No. 2 (Apr., 2001), pp. 109-122
 
−
* [http://www.jstor.org/stable/2301097 An Euler Summation Formula]<br>
 
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** Irwin Roman
 
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** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 43, No. 1 (Jan., 1936), pp. 9-21
 

2021년 2월 17일 (수) 06:00 기준 최신판

개요

  • 수열의 합을 다루는 데 유용한 테크닉
  • finite calculus 라는 이름으로 불리기도 함.
  • 미적분학의 개념과 대응되는 점이 있음.
    • 계차수열 ~ 미분
    • 부분합 ~ 적분



계차수열과 부분합

  • 계차수열
  • 두 수열 \(F, f\) 는 \(\Delta F=f\)을 만족하는 두 수열이다. 즉 \(f(n)=F(n+1)-F(n)\)
  • 미분의 역연산을 부정적분으로 정의하듯이, 계차수열이 f 가 되는 수열 F를 \(\Delta F=f\) 로 표현하자.
정리

두 수열 \(F, f\)가 \(\Delta F=f\)를 만족하면, 다음이 성립한다 \[\sum_{n=a}^{b-1}f(n)=F(b)-F(a)\]

증명

\[F(b)-F(a)=F(b)-F(b-1)+F(b-1)-F(b-2)+F(b-2)+\cdots+F(a+1)-F(a)=f(b-1)+f(b-2)+\cdots f(a)= \sum_{n=a}^{b-1}f(n)\]

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  • 수열 \(f\) 에 대하여 \(\sum_{n=a}^{b-1}f(n)\) 는 정적분에 대응되는 개념으로 이해할 수 있다


관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들



관련된 항목들


하위페이지


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전형태의 자료


메모


관련논문



블로그

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'finite'}, {'LEMMA': 'difference'}]
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