디리클레 L-함수

개요

• 리만제타함수의 일반화
• primitive인(즉, q보다 작은 주기를 갖지 않는) 디리클레 캐릭터\(\chi \colon(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 에 대하여, 디리클레 L-함수를 다음과 같이 정의함.\[L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1\]
  
• 위에 등장하는 준동형사상의 일반적인 이론에 대해서는 순환군의 표현론과 유한군의 표현론 항목을 참조
  

 

 

예

• 리만제타함수는 \(q=1\),  \(\chi=1\) 인 경우에 해당
• 디리클레 베타함수  \(q=4\), \(\chi(1)=1\),  \(\chi(-1)=-1\) 인 경우
• 이차수체 \(K\), \(d_K\)는 판별식
• \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시키는 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)
• 다음과 같이 정의된 L-함수는 이차수체 \(K\)를 이해하는 중요한 도구. 이에 대해서는 데데킨트 제타함수 항목을 참조\[L_{d_K}(s):=L(s, \chi)\]

 

 

해석적 확장

• 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)를 통한 방법이 있음
  
• 리만제타함수의 해석적확장과 같이 멜린변환을 이용할 수 있음
  
• 감마함수

\[\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\] 의 성질 \[\int_0^\infty e^{-nt} t^{s} \frac{dt}{t} = \frac{\Gamma(s)}{n^s}\] 을 이용하여, 다음과 같이 쓸 수 있다 \[\Gamma(s)L(s, \chi)= \int_0^\infty (\sum_{n\geq 1}\chi(n)e^{-nt})t^{s}\frac{dt}{t}\]

• \(g(y)=\chi(1)y+\cdots+\chi(q-1)y^{n-1}\) 으로 두면,\[\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=\frac{g(y)}{1-y^q}, \quad 0<y<1\]
  
• \(g(y)\)는 \(y\)와 \(1-y\)를 인수로 가지므로, 적당한 다항식 \(h(y)\)에 대하여 \(g(y)=y(1-y)h(y)\)로 표현가능\[\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=y(\frac{h(y)}{1+y+\cdots+y^{q-1}})=yk(y)\]
  여기서 \(k(y)\)는 \(C^{\infty}([0,1])\)이고 유계가 됨
  
• 디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴\[L(s, \chi)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty k(e^{-t})e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}\]
  
• 위의 식에서 \(l(t)\)와 그 도함수들은 유계인 함수이므로, 감마함수의 해석적확장에서와 마찬가지로, \(\int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}\)는 \(s=0,-1,-2,\cdots\)에서 단순 pole을 갖게 된다.
• 따라서 \(L(s, \chi)\)는 모든 복소평면에서 해석인 함수로 확장됨

 

 

함수방정식

• L-함수를 약간 변형하여 다음과 같이 함수를 정의\[\Lambda(s,\chi)=(\frac{\pi}{q})^{-{(s+a_{\chi})}/{2}}\Gamma(\frac{s+a_{\chi}}{2})L(s,\chi)\]
  
• 다음 함수방정식을 만족시킴\[\Lambda(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^{a_{\chi}}\sqrt{q}}{\tau(\chi)}\Lambda(s,\chi)\]
  
• 위에서 사용된 기호에 대한 설명\[a_{\chi}=\frac{1-\chi(-1)}{2}\]
  • \(\chi(-1)=-1\) 이면  \(a_{\chi}=1\)
  • \(\chi(-1)=1\) 이면 \(a_{\chi}=0\)
  • \(\Gamma(s)\)는 감마함수
  • \(\tau(\chi)=\sum_{(j,q)=1}\chi(j)e^{2\pi i j/q}\)는 가우스합

예1

• 디리클레 베타함수의 경우
  
  • \(q=4\),  \(\chi(-1)=-1\), \(a_{\chi}=1\) 인 경우에 해당
    
  • \(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)\)
    
  • 가우스합은 \(\tau(\chi)=2i\)이므로 함수방정식은 다음과 같음\[\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\]
    

예2

• \(\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)
  
  • \(q=3\), \(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\),  \(\chi(-1)=-1\), \(a_{\chi}=1\) 인 경우에 해당
    
  • \(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{3})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L_{-3}(s)\)
    
  • 가우스합은 \(\tau(\chi)=\sqrt{3}i\) 이므로 함수방정식은 다음과 같음\[\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\]
    

 

 

s=1 에서의 값  \(L(1,\chi)\)

• \(s=1\) 에서의 값이 중요한 이유
  
  • \(\chi\neq 1\) 인 경우에 대해서, 디리클레는 \(L(1,\chi)\neq 0 \) 임을 보여 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리를 증명하였다
    
  • 이차수체 \(K\)의 경우 \(L_{d_K}(1)\) 의 값은 이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식 과 밀접하게 관련되어 있음
    
• 일반적으로 \(\chi\neq 1\)인 primitive 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)에 대하여 \(L(1,\chi)\)의 값은 다음과 같이 주어짐

\[L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/f})\]

• 여기서 \(\tau(\chi)\)에 대해서는 가우스 합 항목 참조

\[\tau_a(\chi)=\sum_{(j,f)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/f}\] \[\tau(\chi)=\tau_1(\chi)\]

• 좀더 구체적으로 다음과 같이 쓸 수 있음
  
  • \(\chi(-1)=-1\) 인 경우

\[L(1,\chi)= \frac{i \pi\tau(\chi)}{f^2}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a) a\]

• • \(\chi(-1)=1\) 인 경우

\[L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{f})\]

 

이차잉여 준동형사상에 대한 \(L(1,\chi)\)

이차수체 \(K\), \(d_K\)는 판별식

\(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 은 다음 조건에 의해 유일하게 결정됨

 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\)

 

 

\(q \geq 2\) 는 소수라 가정하자.

 

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\), \(q \geq 3\) , \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우

\(d_K=-q\)

\(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\)

\(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=i\sqrt{q}\)

\(L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a\)

 

 

 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})\) , \(q \geq 5\),   \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우

\(d_K=q\)

\(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\)

\(\chi(-1)=1\), \(\tau(\chi)=\sqrt{q}\)

\(L(1,\chi)=-\frac{\sqrt{q}}{q}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\log(\sin \frac{a\pi}{q})\)

 

 

 

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\)  , \(q \geq 1\) ,  \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우

\(d_K=-4q\)

\(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=2i\sqrt{q}\)

소수 \(p \neq 2 , q\)에 대하여

\(p \equiv 1 \pmod{4}\)이면

\(\chi(p)=\left(\frac{-4q}{p}\right)=\left(\frac{-q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)\)

\(p \equiv 3 \pmod{4}\)이면

\(\chi(p)=\left(\frac{-4q}{p}\right)=\left(\frac{-q}{p}\right)=-\left(\frac{p}{q}\right)\)

따라서

\(\chi(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)\)

일반적인

\(n\in \mathbb{Z}\), \((n,4q)=1\) 에 대해서는

\(\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)\)

\(L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}\sum_{(a,4q)=1}(-1)^{\frac{a-1}{2}}\left(\frac{a}{q}\right) a\)

 

 

 

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})\) , \(q \geq 3\),   \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우

\(d_K=4q\)

\(\chi(-1)=1\), \(\tau(\chi)=2\sqrt{q}\)

소수 \(p \neq 2 , q\)에 대하여

\(p \equiv 1 \pmod{4}\)이면

\(\chi(p)=\left(\frac{4q}{p}\right)=\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)\)

\(p \equiv 3 \pmod{4}\)이면

\(\chi(p)=\left(\frac{4q}{p}\right)=\left(\frac{q}{p}\right)=-\left(\frac{p}{q}\right)\)

따라서

\(\chi(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)\)

일반적인

\(n\in \mathbb{Z}\), \((n,4q)=1\) 에 대해서는

 

\(\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)\)

\(L(1,\chi)=-\frac{1}{2\sqrt{q}}\sum_{(a,4q)=1}(-1)^{\frac{a-1}{2}}\left(\frac{a}{q}\right)\log(\sin \frac{a\pi}{4q})\)

 

이차잉여에의 응용

7이상의 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 와  \(\chi(a)=\left(\frac{a}{p}\right)\) 를 정의하자.

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\) 라 두면, \(d_K=-p\)이며  \(\chi(a)=\left(\frac{a}{p}\right)\) 는  \(d_K\)를 나누지 않는 소수 \(p\)에 대하여 \(\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)\) 를 만족시킨다. 

\(p \equiv 3 \pmod{4}\) 이므로  \(\chi(-1)=-1\) \[L(1,\chi)=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\bar\chi(a)\frac{a}{p}=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}\]

를 얻고, 다른 한편으로 디리클레 class number 공식으로부터

\(L(1,\chi)=\frac{\pi h}{\sqrt p}\)

을 얻는다.

가우스 합은 \(\tau (\chi)=i\sqrt p\) 이므로 위의 두 값을 비교하면,  \[h=\frac{\sqrt p }{\pi}\frac{i\pi\tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}=-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})\frac{a}{p}\]

이로부터 소수 \(p\)에 대하여 이차비잉여의 합이 이차잉여의 합보다 크다는 것을 알 수 있다.

 

\(s=0,-1,-2,\cdots\) 음의 정수일 때의 값

\(n\geq 1\) 이라 하자. 일반적으로 \(\chi\neq 1\)인 primitive 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)에 대하여 \(L(1-n,\chi)\)의 값은 다음과 같이 주어진다 \[L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})\]

여기서 \(B_n(x)\) 는 베르누이 다항식(\(B_0(x)=1\), \(B_1(x)=x-1/2\), \(B_2(x)=x^2-x+1/6\), \(\cdots\))

• 정수에서의 리만제타함수의 값과 비교
  
  • \(\zeta(1-n)=-\frac{B_{n}}{n}, n \ge 1\)
    

\(L'(1,\chi)\) 의 값

• 복소이차수체 \(K\), \(d_K\)는 판별식\[L(1,\chi)=L_{d_K}(1)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}\]
  이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
  
• L-함수의 미분

\[L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\]

• 예

\[L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\]

L'(1)의 값과 정적분

\(f\)가 \(f(3)=-1\)인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, \(p(z)=z-z^3\)

\(L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}\)

\(L'(1)-\gamma \frac{\pi}{4}=\int_0^{1}\frac{z-z^3}{1-z^4}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}=\int_0^{1}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{1+z^2}=\int_1^{\infty}\log \log u \,\frac{du}{1+u^2}\)

\(=\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx\)

 

이제 \(L'(1)\) 의 값을 구하면 된다. 

\(L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}\) 와 Hurwitz 제타함수 의 에르미트 표현 \(\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}\)  을 사용하면,

\(L'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}\)

\(L'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-L(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}\)

 

\(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)\)

가 만족시키는 함수방정식

\(\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\)

을 사용하자.

\(L(0)=\frac{1}{2}\) 을 쉽게 얻을 수 있다.

한편 다이감마 함수(digamma function) 의 값 \(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)에서 \(\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)\) 를 활용하여,

\(L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})\)

를 얻는다. 

 

따라서 \[\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi})\]

• 적분쇼 항목 참조

 

 

역사

• 수학사 연표

 

 

메모

• L(1/2) 의 값은?

 

 

 

관련된 항목들

• 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)
• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
• 가우스 합

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_L-function
• http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Riemann_hypothesis

관련도서

• Harold Davenport, Multiplicative Number Theory (Graduate Texts in Mathematics, Vol. 74)