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*  복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함<br>
 
*  복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함<br>
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**  유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.<br><math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}</math><br>
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**  유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.:<math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}</math><br>
 
**  복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방<br>
 
**  복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방<br>
  
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*  겔폰드 상수 <math>e^\pi</math><br>
 
*  겔폰드 상수 <math>e^\pi</math><br>
 
** [[겔폰드-슈나이더 정리]] 참조<br>
 
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* [[감마함수]]의 유리수에서의 값<br><math>\Gamma(\frac{1}{3})</math>, <math>\Gamma(\frac{2}{3})</math>, <math>\Gamma(\frac{1}{4})</math>, <math>\Gamma(\frac{3}{4})</math>, <math>\Gamma(\frac{1}{6})</math>, <math>\Gamma(\frac{5}{6})</math><br>
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* [[감마함수]]의 유리수에서의 값:<math>\Gamma(\frac{1}{3})</math>, <math>\Gamma(\frac{2}{3})</math>, <math>\Gamma(\frac{1}{4})</math>, <math>\Gamma(\frac{3}{4})</math>, <math>\Gamma(\frac{1}{6})</math>, <math>\Gamma(\frac{5}{6})</math><br>
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* [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]]<br><math>a,b,a+b \in \mathbb{Q-Z}</math> 이면 <math>B(a,b)</math> 는 초월수이다<br>
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* [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]]:<math>a,b,a+b \in \mathbb{Q-Z}</math> 이면 <math>B(a,b)</math> 는 초월수이다<br>
  
 
 
 
 
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==겔폰드-슈나이더 정리==
 
==겔폰드-슈나이더 정리==
  
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*  (정리) 겔폰드-슈나이더, 1934<br><math>\alpha \ne 0</math>,<math>\alpha \ne 1</math>,<math>\beta\notin \mathbb{Q}</math> 인 복소수 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math> 가 대수적수이면, <math>\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha</math> 는 초월수이다.<br>
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*  (정리) 겔폰드-슈나이더, 1934:<math>\alpha \ne 0</math>,<math>\alpha \ne 1</math>,<math>\beta\notin \mathbb{Q}</math> 인 복소수 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math> 가 대수적수이면, <math>\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha</math> 는 초월수이다.<br>
 
* [[#|겔폰드-슈나이더 정리]] 항목 참조
 
* [[#|겔폰드-슈나이더 정리]] 항목 참조
  

2013년 1월 12일 (토) 09:41 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

  • 복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함
    • 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.\[a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\]
    • 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방
  • 대수적수론 에 비해 훨씬 어렵고, 체계적인 이론이 확립되어 있지 않음.
  • 보통 period나 regulator로 얻어지는 수가 초월수인지에 관심을 가짐

 

 

무리수의 예

 

 

초월수의 예

 

 

일차독립과 대수적독립

 

 

린데만-바이어슈트라스 정리

  • 린데만-바이어슈트라스 정리
    대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 \(\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})\)의 transcendence degree가 n이다.

 

 

겔폰드-슈나이더 정리

  • (정리) 겔폰드-슈나이더, 1934\[\alpha \ne 0\],\(\alpha \ne 1\),\(\beta\notin \mathbb{Q}\) 인 복소수 \(\alpha\)와 \(\beta\) 가 대수적수이면, \(\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha\) 는 초월수이다.
  • 겔폰드-슈나이더 정리 항목 참조

 

 

베이커의 정리

 

 

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