"무리수와 초월수"의 두 판 사이의 차이

2014년 6월 16일 (월) 03:32 판

복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함
- 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.\[a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\]
- 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방
대수적수론 에 비해 훨씬 어렵고, 체계적인 이론이 확립되어 있지 않음.
보통 주기 (period)나 regulator로 얻어지는 수가 초월수인지에 관심을 가짐

$$ \frac{\zeta(3)}{\pi^3} \stackrel{?}{\in}\mathbb{Q} $$

파이는 초월수이다
자연상수 e는 초월수이다
타원적분
겔폰드 상수 $e^\pi$
- 겔폰드-슈나이더 정리 참조
감마함수의 유리수에서의 값\[\Gamma(\frac{1}{3}),\Gamma(\frac{2}{3}),\Gamma(\frac{1}{4}),\Gamma(\frac{3}{4}),\Gamma(\frac{1}{6}),\Gamma(\frac{5}{6})\]
오일러 베타적분(베타함수) $a,b,a+b \in \mathbb{Q}\backslash \mathbb{Z}$ 이면 $B(a,b)$ 는 초월수이다

린데만-바이어슈트라스 정리 대수적 수 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 가 유리수체 위에서 선형독립이면, $e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}$ 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 $\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})$의 transcendence degree가 n이다.

겔폰드-슈나이더, 1934
$\alpha \ne 0$,$\alpha \ne 1$,$\beta\notin \mathbb{Q}$ 인 복소수 $\alpha$와 $\beta$ 가 대수적수이면, $\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha}$ 는 초월수이다.
겔폰드-슈나이더 정리 항목 참조

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 ** [[겔폰드-슈나이더 정리]] 참조
 * [[감마함수]]의 유리수에서의 값:<math>\Gamma(\frac{1}{3}),\Gamma(\frac{2}{3}),\Gamma(\frac{1}{4}),\Gamma(\frac{3}{4}),\Gamma(\frac{1}{6}),\Gamma(\frac{5}{6})</math>
-* [[오일러 베타적분(베타함수)]] <math>a,b,a+b \in \mathbb{Q-Z}</math> 이면 <math>B(a,b)</math> 는 초월수이다
+* [[오일러 베타적분(베타함수)]] <math>a,b,a+b \in \mathbb{Q}\backslash \mathbb{Z}</math> 이면 <math>B(a,b)</math> 는 초월수이다
 ==일차독립과 대수적독립==