"무리수와 초월수"의 두 판 사이의 차이

2010년 6월 7일 (월) 15:44 판

복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함
- 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.
  \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\)
- 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방

파이는 초월수이다
[[파이 π는 초월수이다|]]자연상수 e는 초월수이다
감마함수의 유리수에서의 값
\(\Gamma(\frac{1}{3})\), \(\Gamma(\frac{2}{3})\), \(\Gamma(\frac{1}{4})\), \(\Gamma(\frac{3}{4})\), \(\Gamma(\frac{1}{6})\), \(\Gamma(\frac{5}{6})\)
타원적분
오일러 베타적분
\(a,b,a+b \in \mathbb{Q-Z}\) 이면 \(B(a,b)\) 는 초월수이다

무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식

\(|\frac{p}{q}-\alpha|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\)

는 무한히 많은 유리수 \(\frac{p}{q}\) 에 의하여 만족된다.

연분수 항목 참조

\(|\frac{p}{q}-\alpha|<\frac{1}{q^2}\)

는 무한히 많은 유리수 \(\frac{p}{q}\) 에 의하여 만족된다.

Thue-Siegel-Roth 정리
주어진 \(\epsilon}>0\)에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식
\(\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}\)
의 유리수해 \(\frac{p}{q}\)는 유한히 많다

@@ 37번째 줄: / 37번째 줄: @@
 * [[타원적분(통합됨)|타원적분]]<br>
 * [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]]<br><math>a,b,a+b \in \mathbb{Q-Z}</math> 이면 <math>B(a,b)</math> 는 초월수이다<br>
+<h5>무리수의 성질</h5>
+무리수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식
+<math>|\frac{p}{q}-\alpha|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}</math>
+는 무한히 많은 유리수 <math>\frac{p}{q}</math> 에 의하여 만족된다.
+[[연분수와 유리수 근사|연분수]] 항목 참조
+*  디리클레 근사 정리<br> 무리수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식<br>
+<math>|\frac{p}{q}-\alpha|<\frac{1}{q^2}</math>
+는 무한히 많은 유리수 <math>\frac{p}{q}</math> 에 의하여 만족된다.
+*  Thue-Siegel-Roth 정리<br> 주어진 <math>\epsilon}>0</math>에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식<br><math>\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}</math><br> 의 유리수해 <math>\frac{p}{q}</math>는 유한히 많다<br>
@@ 139번째 줄: / 165번째 줄: @@
 * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B4%88%EC%9B%94%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/초월수]
+* [http://en.wikipedia.org/wiki/Thue%E2%80%93Siegel%E2%80%93Roth_theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Thue–Siegel–Roth_theorem]
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond-Schneider_theorem
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Gamma_function