무리수와 초월수

복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함
- 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.
  \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\)
- 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방

파이는 초월수이다
자연상수 e는 초월수이다
타원적분
감마함수의 유리수에서의 값
\(\Gamma(\frac{1}{3})\), \(\Gamma(\frac{2}{3})\), \(\Gamma(\frac{1}{4})\), \(\Gamma(\frac{3}{4})\), \(\Gamma(\frac{1}{6})\), \(\Gamma(\frac{5}{6})\)
오일러 베타적분
\(a,b,a+b \in \mathbb{Q-Z}\) 이면 \(B(a,b)\) 는 초월수이다

무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식

\(|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^2}\)

는 무한히 많은 유리수 \(\frac{p}{q}\) 에 의하여 만족된다.

무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, 적당한 실수 \(A>0\)가 존재하여, 모든 유리수 \(\frac{p}{q}\)에 대하여 다음 부등식이 만족된다.

\( \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert > \frac{A}{q^{d}}\)

주어진 \(\epsilon}>0\)에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식

\(\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}\)

의 유리수해 \(\frac{p}{q}\)는 유한하다

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