무리수와 초월수
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 7월 12일 (월) 22:30 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함
- 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.
\(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\) - 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방
- 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.
- 대수적수론 에 비해 훨씬 어렵고, 체계적인 이론이 확립되어 있지 않음.
- 보통 period나 regulator로 얻어지는 수가 초월수인지에 관심을 가짐
무리수의 예
초월수의 예
- 파이는 초월수이다
- 자연상수 e는 초월수이다
- 타원적분
- 감마함수의 유리수에서의 값
\(\Gamma(\frac{1}{3})\), \(\Gamma(\frac{2}{3})\), \(\Gamma(\frac{1}{4})\), \(\Gamma(\frac{3}{4})\), \(\Gamma(\frac{1}{6})\), \(\Gamma(\frac{5}{6})\) - 오일러 베타적분
\(a,b,a+b \in \mathbb{Q-Z}\) 이면 \(B(a,b)\) 는 초월수이다
디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)
리우빌 정리
무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, 적당한 실수 \(A>0\)가 존재하여, 모든 유리수 \(\frac{p}{q}\)에 대하여 다음 부등식이 만족된다.
\( \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert > \frac{A}{q^{d}}\)
Thue-Siegel-Roth 정리
주어진 \(\epsilon}>0\)에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식
\(\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}\)
의 유리수해 \(\frac{p}{q}\)는 유한하다
일차독립과 대수적독립
린데만-바이어슈트라스 정리
겔폰드-슈나이더 정리
베이커의 정리
메모
http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/irrationality.html
많이 나오는 질문과 답변
- 네이버 지식인
관련된 고교수학 또는 대학수학
하위페이지
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/초월수
- http://en.wikipedia.org/wiki/Thue–Siegel–Roth_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond-Schneider_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Gamma_function
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련도서
- On the Algebraic Independence of Numbers
- Yu.V. Nesterenko, in A panorama in number theory, or, The view from Baker's garden (by Alan Baker,Gisbert Wüstholz), 2002
- Yu.V. Nesterenko, in A panorama in number theory, or, The view from Baker's garden (by Alan Baker,Gisbert Wüstholz), 2002
- Introduction to algebraic independence theory
- Valentinovich Nesterenko,Patrice Philippo, 2001
- Transcendental Number Theory
- Alan Baker, Cambridge University Press
- Alan Baker, Cambridge University Press
- Making Transcendence Transparent: An intuitive approach to classical transcendental number theory
- Edward B. Burger, Robert Tubbs, Springer
- Edward B. Burger, Robert Tubbs, Springer
- Transcendental Numbers
- C.L.Siegel
- C.L.Siegel
- 도서내검색
- 도서검색
관련논문
- Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)
- Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
관련링크 및 웹페이지
- http://modular.math.washington.edu/swc/aws/08/
- Transcendental number theory
- Michael Filaseta Lecture notes
- Lindemann's Theorem
- The Gelfond-Schneider Theorem and Some Related Results
블로그
- 무리수이야기
- 정경훈, 네이버 오늘의 과학, 2009-6-9
- 정경훈, 네이버 오늘의 과학, 2009-6-9