무리수와 초월수

개요

• 복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함
  • 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.\[a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\]
  • 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방
• 대수적수론 에 비해 훨씬 어렵고, 체계적인 이론이 확립되어 있지 않음.
• 보통 주기 (period)나 regulator로 얻어지는 수가 초월수인지에 관심을 가짐

무리수의 예

• 루트2는 무리수이다
• 자연상수 e 는 무리수이다
• 파이 π는 무리수이다
• ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)
• 다음은 미해결 문제

$$ \frac{\zeta(3)}{\pi^3} \stackrel{?}{\in}\mathbb{Q} $$

초월수의 예

• 파이는 초월수이다
• 자연상수 e는 초월수이다
• 타원적분
• 겔폰드 상수 \(e^\pi\)
  • 겔폰드-슈나이더 정리 참조
• 감마함수의 유리수에서의 값\[\Gamma(\frac{1}{3}),\Gamma(\frac{2}{3}),\Gamma(\frac{1}{4}),\Gamma(\frac{3}{4}),\Gamma(\frac{1}{6}),\Gamma(\frac{5}{6})\]
• 오일러 베타적분(베타함수) \(a,b,a+b \in \mathbb{Q}\backslash \mathbb{Z}\) 이면 \(B(a,b)\) 는 초월수이다

린데만-바이어슈트라스 정리

• 린데만-바이어슈트라스 정리 대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 \(\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})\)의 transcendence degree가 n이다.

겔폰드-슈나이더 정리

• 겔폰드-슈나이더, 1934
• \(\alpha \ne 0\),\(\alpha \ne 1\),\(\beta\notin \mathbb{Q}\) 인 복소수 \(\alpha\)와 \(\beta\) 가 대수적수이면, \(\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha}\) 는 초월수이다.
• 겔폰드-슈나이더 정리 항목 참조

베이커의 정리

• 베이커의 정리

메모

• http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/irrationality.html
• http://mathandmultimedia.com/2012/01/06/proof-that-log-2-is-irrational-number/

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 대수적수론

관련된 항목들

• 불가능성의 정리들
• periods
• 작도문제
• 가우스와 정17각형의 작도
• 수학의 상수들(mathematical constants)
• 연분수

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/초월수
• http://en.wikipedia.org/wiki/Thue–Siegel–Roth_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond-Schneider_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Gamma_function

관련도서

• On the Algebraic Independence of Numbers
  • Yu.V. Nesterenko, in A panorama in number theory, or, The view from Baker's garden (by Alan Baker,Gisbert Wüstholz), 2002
• Introduction to algebraic independence theory
  • Valentinovich Nesterenko,Patrice Philippo, 2001
• Diophantine approximations and Diophantine equations
  • Wolfgang M. Schmidt. Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000
• Transcendental Number Theory
  • Alan Baker, Cambridge University Press, 1975
• Making Transcendence Transparent: An intuitive approach to classical transcendental number theory
  • Edward B. Burger, Robert Tubbs, Springer
• Transcendental Numbers
  • C.L.Siegel

리뷰, 에세이, 강의노트

• Dirk Huylebrouck, Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3), The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
• 정경훈, 무리수이야기, 네이버 오늘의 과학, 2009-6-9

관련논문

• Tretkoff, Paula. 2014. “Transcendence and CM on Borcea-Voisin Towers of Calabi-Yau Manifolds.” arXiv:1407.2611 [math], July. http://arxiv.org/abs/1407.2611.

관련링크 및 웹페이지

• Introduction to Diophantine methods: irrationality and transcendence
• Transcendental number theory
  • Michael Filaseta Lecture notes
  • Lindemann's Theorem
  • The Gelfond-Schneider Theorem and Some Related Results
• Arizona Winter School 2008: Special Functions and Transcendence