무리수와 초월수

개요

• 복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함
  • 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.\[a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\]
  • 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방
• 대수적수론 에 비해 훨씬 어렵고, 체계적인 이론이 확립되어 있지 않음.
• 보통 주기 (period)나 regulator로 얻어지는 수가 초월수인지에 관심을 가짐

무리수의 예

• 루트2는 무리수이다
• 자연상수 e 는 무리수이다
• 파이 π는 무리수이다
• ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)
• 다음은 미해결 문제

\[ \frac{\zeta(3)}{\pi^3} \stackrel{?}{\in}\mathbb{Q} \]

초월수의 예

• 파이는 초월수이다
• 자연상수 e는 초월수이다
• 타원적분
• 겔폰드 상수 \(e^\pi\)
  • 겔폰드-슈나이더 정리 참조
• 감마함수의 유리수에서의 값\[\Gamma(\frac{1}{3}),\Gamma(\frac{2}{3}),\Gamma(\frac{1}{4}),\Gamma(\frac{3}{4}),\Gamma(\frac{1}{6}),\Gamma(\frac{5}{6})\]
• 오일러 베타적분(베타함수) \(a,b,a+b \in \mathbb{Q}\backslash \mathbb{Z}\) 이면 \(B(a,b)\) 는 초월수이다

린데만-바이어슈트라스 정리

• 린데만-바이어슈트라스 정리 대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 \(\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})\)의 transcendence degree가 n이다.

겔폰드-슈나이더 정리

• 겔폰드-슈나이더, 1934
• \(\alpha \ne 0\),\(\alpha \ne 1\),\(\beta\notin \mathbb{Q}\) 인 복소수 \(\alpha\)와 \(\beta\) 가 대수적수이면, \(\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha}\) 는 초월수이다.
• 겔폰드-슈나이더 정리 항목 참조

베이커의 정리

• 베이커의 정리

메모

• http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/irrationality.html
• http://mathandmultimedia.com/2012/01/06/proof-that-log-2-is-irrational-number/
• 살렘 수

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 대수적수론

관련된 항목들

• 불가능성의 정리들
• periods
• 작도문제
• 가우스와 정17각형의 작도
• 수학의 상수들(mathematical constants)
• 연분수

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/초월수
• http://en.wikipedia.org/wiki/Thue–Siegel–Roth_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond-Schneider_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Gamma_function

관련도서

• Transcendental Numbers. 2014. http://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-1-4939-0831-8.
• On the Algebraic Independence of Numbers
  • Yu.V. Nesterenko, in A panorama in number theory, or, The view from Baker's garden (by Alan Baker,Gisbert Wüstholz), 2002
• Introduction to algebraic independence theory
  • Valentinovich Nesterenko,Patrice Philippo, 2001
• Diophantine approximations and Diophantine equations
  • Wolfgang M. Schmidt. Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000
• Transcendental Number Theory
  • Alan Baker, Cambridge University Press, 1975
• Making Transcendence Transparent: An intuitive approach to classical transcendental number theory
  • Edward B. Burger, Robert Tubbs, Springer
• Transcendental Numbers
  • C.L.Siegel

리뷰, 에세이, 강의노트

• Dirk Huylebrouck, Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3), The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
• 정경훈, 무리수이야기, 네이버 오늘의 과학, 2009-6-9

관련논문

• Das, Tushar, and David Simmons. “A Proof of the Matrix Version of Baker’s Conjecture in Diophantine Approximation.” arXiv:1510.09195 [math], October 30, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.09195.
• Buium, Alexandru. “Transcendental Numbers as Solutions to Arithmetic Differential Equations.” arXiv:1408.6188 [math], August 26, 2014. http://arxiv.org/abs/1408.6188.
• Tretkoff, Paula. 2014. “Transcendence and CM on Borcea-Voisin Towers of Calabi-Yau Manifolds.” arXiv:1407.2611 [math], July. http://arxiv.org/abs/1407.2611.
• Tretkoff, Paula, and Marvin D. Tretkoff. 2013. “A Transcendence Criterion for CM on Some Families of Calabi–Yau Manifolds.” In From Fourier Analysis and Number Theory to Radon Transforms and Geometry, edited by Hershel M. Farkas, Robert C. Gunning, Marvin I. Knopp, and B. A. Taylor, 475–90. Developments in Mathematics 28. Springer New York. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4614-4075-8_23.

관련링크 및 웹페이지

• Introduction to Diophantine methods: irrationality and transcendence
• Transcendental number theory
  • Michael Filaseta Lecture notes
  • Lindemann's Theorem
  • The Gelfond-Schneider Theorem and Some Related Results
• Arizona Winter School 2008: Special Functions and Transcendence