디리클레 L-함수

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디리클레 L-함수

간단한 소개

리만제타함수의 일반화
primitive인(즉, q보다 작은 주기를 갖지 않는) 준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}$ 에 대하여, 디리클레 L-함수를 다음과 같이 정의함.
$L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1$
위에 등장하는 준동형사상의 일반적인 이론에 대해서는 순환군의 표현론과 유한군의 표현론 항목을 참조

예

리만제타함수$q=1$, $\chi=1$ 인 경우
디리클레 베타함수 $q=4$, $\chi(1)=1$, $\chi(-1)=-1$ 인 경우
이차수체 $K$, $d_K$는 판별식
$d_K$를 나누지 않는 소수 $p$에 대하여 $\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)$ 를 만족시키는 준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}$
다음과 같이 정의된 L-함수는 이차수체 $K$를 이해하는 중요한 도구. 이에 대해서는 데데킨트 제타함수 항목을 참조
$L_{d_K}(s):=L(s, \chi)$

해석적 확장

후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)를 통한 방법이 있음
리만제타함수의 해석적확장과 같이 멜린변환을 이용할 수 있음
감마함수
$\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}$, $\int_0^\infty e^{-nt} t^{s} \frac{dt}{t} = \frac{\Gamma(s)}{n^s}$
$\Gamma(s)L(s, \chi)= \int_0^\infty (\sum_{n\geq 1}\chi(n)e^{-nt})t^{s}\frac{dt}{t}$
$g(y)=\chi(1)y+\cdots+\chi(N-1)y^{n-1}$ 으로 두면,
$\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=\frac{g(y)}{1-y^N}$, $(0<y<1)$
$g(y)$는 $y$와 $1-y$를 인수로 가지므로, 적당한 다항식 $h(y)$에 대하여 $g(y)=y(1-y)h(y)$로 표현가능
$\sum_{n\geq 1}\chi(n)y^n=y(\frac{h(y)}{1+y+\cdots+y^{n-1}})=yk(y)$
여기서 $k(y)$는 $C^{\infty}([0,1])$이고 유계가 됨
디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴
$L(s, \chi)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty k(e^{-t})e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}$
위의 식에서 $l(t)$와 그 도함수들은 유계인 함수이므로, 감마함수의 해석적확장에서와 마찬가지로, $\int_0^\infty l(t)e^{-t}t^{s}\frac{dt}{t}$는 $s=0,-1,-2,\cdots$에서 단순 pole을 갖게 된다.
따라서 $L(s, \chi)$는 모든 복소평면에서 해석인 함수로 확장됨

함수방정식

L-함수를 약간 변형하여 다음과 같이 함수를 정의
$\Lambda(s,\chi)=(\frac{\pi}{q})^{-{(s+a_{\chi})}/{2}}\Gamma(\frac{s+a_{\chi}}{2})L(s,\chi)$
다음 함수방정식을 만족시킴
$\Lambda(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^{a_{\chi}}\sqrt{q}}{\tau(\chi)}\Lambda(s,\chi)$
위에서 사용된 기호에 대한 설명
$a_{\chi}=\frac{1-\chi(-1)}{2}$
$\chi(-1)=-1$ 이면 $a_{\chi}=1$
$\chi(-1)=1$ 이면 $a_{\chi}=0$
$\Gamma(s)$는 감마함수
$\tau(\chi)=\sum_{(j,q)=1}\chi(j)e^{2\pi i j/q}$는 가우스합
디리클레 베타함수의 경우
- $q=4$, $\chi(-1)=-1$, $a_{\chi}=1$ 인 경우에 해당
- $\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})\beta(s)$
- 가우스합은 $\tau(\chi)=2i$이므로 함수방정식은 다음과 같음
  $\Lambda(s)=\Lambda(1-s)$
$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$
- $q=3$, $\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)$, $\chi(-1)=-1$, $a_{\chi}=1$ 인 경우에 해당
- $\Lambda(s)=(\frac{\pi}{3})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L_{-3}(s)$
- 가우스합은 $\tau(\chi)=\sqrt{3}i$ 이므로 함수방정식은 다음과 같음
  $\Lambda(s)=\Lambda(1-s)$

s=1 에서의 값 $L(1,\chi)$

$s=1$ 에서의 값이 중요한 이유
- $\chi\neq 1$ 인 경우에 대해서, 디리클레는 $L(1,\chi)\neq 0 $ 임을 보임으로써 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리를 증명하였다
- 이차수체 $K$의 경우
  $L_{d_K}(1)$ 의 값은 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 과 밀접하게 관련되어 있음
일반적으로 $\chi\neq 1$인 primitive 준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}$에 대하여 $L(1,\chi)$의 값은 다음과 같이 주어짐
$L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,f)=1}}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/f})$
여기서 $\tau(\chi)$에 대해서는 가우스합 항목 참조
$\tau_a(\chi)=\sum_{(j,f)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/f}$
$\tau(\chi)=\tau_1(\chi)$
좀더 구체적으로 다음과 같이 쓸 수 있음
- $\chi(-1)=-1$ 인 경우
  $L(1,\chi)= \frac{i \pi\tau(\chi)}{f^2}{\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a) a$
- $\chi(-1)=1$ 인 경우
  $L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{f}})$

$s=0,-1,-2,\cdots$ 음의 정수일 때의 값

$n\geq 1$ 이라 하자. 일반적으로 $\chi\neq 1$인 primitive 준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}$에 대하여 $L(1-n,\chi)$의 값은 다음과 같이 주어진다

$L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})$

여기서 $B_n(x)$ 는 베르누이 다항식($B_0(x)=1$, $B_1(x)=x-1/2$, $B_2(x)=x^2-x+1/6$, $\cdots$)

정수에서의 리만제타함수의 값과 비교
- $\zeta(1-n)=-\frac{B_{n}}{n}, n \ge 1$

이차잉여 준동형사상에 대한 $L(1,\chi)$

이차수체 $K$, $d_K$는 판별식

$d_K$를 나누지 않는 소수 $p$에 대하여 준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}$ 은 다음 조건에 의해 유일하게 결정됨

$\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)$

$q \geq 2$ 는 소수라 가정하자.

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$, $q \geq 3$ , $q \equiv 3 \pmod{4}$ 인 경우

$d_K=-q$

$\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)$

$\chi(-1)=-1$, $\tau(\chi)=i\sqrt{q}$

$L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a$

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})$ , $q \geq 5$, $q \equiv 1 \pmod{4}$ 인 경우

$d_K=q$

$\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)$

$\chi(-1)=1$, $\tau(\chi)=\sqrt{q}$

$L(1,\chi)=-\frac{\sqrt{q}}{q}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\log(\sin \frac{a\pi}{q}})$

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$ , $q \geq 1$ , $q \equiv 1 \pmod{4}$ 인 경우

$d_K=-4q$

$\chi(-1)=-1$, $\tau(\chi)=2i\sqrt{q}$

소수 $p \neq 2 , q$에 대하여

$p \equiv 1 \pmod{4}$이면

$\chi(p)=\left(\frac{-4q}{p}\right)=\left(\frac{-q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)$

$p \equiv 3 \pmod{4}$이면

$\chi(p)=\left(\frac{-4q}{p}\right)=\left(\frac{-q}{p}\right)=-\left(\frac{p}{q}\right)$

따라서

$\chi(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)$

일반적인

$n\in \mathbb{Z}$, $(n,4q)=1$ 에 대해서는

$\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)$

$L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}{\sum_{(a,4q)=1}(-1)^{\frac{a-1}{2}}\left(\frac{a}{q}\right) a$

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})$ , $q \geq 3$, $q \equiv 3 \pmod{4}$ 인 경우

$d_K=4q$

$\chi(-1)=1$, $\tau(\chi)=2\sqrt{q}$

소수 $p \neq 2 , q$에 대하여

$p \equiv 1 \pmod{4}$이면

$\chi(p)=\left(\frac{4q}{p}\right)=\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)$

$p \equiv 3 \pmod{4}$이면

$\chi(p)=\left(\frac{4q}{p}\right)=\left(\frac{q}{p}\right)=-\left(\frac{p}{q}\right)$

따라서

$\chi(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)$

일반적인

$n\in \mathbb{Z}$, $(n,4q)=1$ 에 대해서는

$\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)$

$L(1,\chi)=-\frac{1}{2\sqrt{q}}\sum_{(a,4q)=1}(-1)^{\frac{a-1}{2}}\left(\frac{a}{q}\right)\log(\sin \frac{a\pi}{4q}})$

$L'(1,\chi)$ 의 값

복소이차수체 $K$, $d_K$는 판별식
$L(1,\chi)=L_{d_K}(1)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}$
이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
Chowla-셀베르그 공식
$L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})$
$L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})$

이차잉여에의 응용

7이상의 소수 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 와 $\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)$ 를 정의하자.

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ 라 두면, $d_K=-p$이며 $\chi(a)=$\left(\frac{a}{p}\right)$ 는 $d_K$를 나누지 않는 소수 $p$에 대하여 $\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)$ 를 만족시킨다.

$p \equiv 3 \pmod{4}$ 이므로 $\chi(-1)=-1$

$L(1,\chi)=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\bar\chi(a)\frac{a}{p}=\frac{i\pi \tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}$

를 얻고, 다른 한편으로 디리클레 class number 공식으로부터

$L(1,\chi)=\frac{\pi h}{\sqrt p}$

을 얻는다.

가우스합은 $\tau (\chi)=i\sqrt p$ 이므로 위의 두 값을 비교하면,

$h=\frac{\sqrt p }{\pi}\frac{i\pi\tau(\chi)}{p}\sum_{a=1}^{p-1}\chi(a)\frac{a}{p}=-\sum_{a=1}^{p-1}(\frac{a}{p})\frac{a}{p}$

이로부터 소수 $p$에 대하여 이차비잉여의 합이 이차잉여의 합보다 크다는 것을 알 수 있다.

L'(1)의 값과 정적분

$f$가 $f(3)=-1$인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라고 하면, $p(z)=z-z^3$

$L(s) = \sum_{n\geq 1}\frac{f(n)}{n^s}$

$L'(1)-\gamma \frac{\pi}{4}=\int_0^{1}\frac{z-z^3}{1-z^4}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{z}=\int_0^{1}\log \log\frac{1}{z} \,\frac{dz}{1+z^2}=\int_1^{\infty}\log \log u \,\frac{du}{1+u^2}$

$=\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx$

이제 $L'(1)$ 의 값을 구하면 된다.

$L(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}$ 와 Hurwitz 제타함수 의 에르미트 표현 $\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}$ 을 사용하면,

$L'(s)=4^{-s}\{\zeta(s,1/4)-\zeta(s,3/4)\}(-\log 4)+4^{-s}\{\zeta'(s,1/4)-\zeta'(s,3/4)\}$

$L'(0)=\{\zeta(0,1/4)-\zeta(0,3/4)\}(-\log 4)+\{\zeta'(0,1/4)-\zeta'(0,3/4)\}=-L(0)\log4+\log\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}$

$\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)$

가 만족시키는 함수방정식

$\Lambda(s)=\Lambda(1-s)$

을 사용하자.

$L(0)=\frac{1}{2}$ 을 쉽게 얻을 수 있다.

한편 Digamma 함수 의 값 $\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma$에서 $\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(2\ln2+\gamma)$ 를 활용하여,

$L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}\gamma+\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)}\sqrt{2\pi})$

를 얻는다.

따라서

$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln({\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi})$

적분쇼 항목 참조

재미있는 사실

네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

디리클레 L-함수

목차

이 항목의 스프링노트 원문주소

간단한 소개

예

해석적 확장

함수방정식

s=1 에서의 값 \(L(1,\chi)\)

\(s=0,-1,-2,\cdots\) 음의 정수일 때의 값

이차잉여 준동형사상에 대한 \(L(1,\chi)\)

\(L'(1,\chi)\) 의 값

이차잉여에의 응용

L'(1)의 값과 정적분

재미있는 사실

역사

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