무리수와 초월수

이 항목의 스프링노트 원문주소

• 무리수와 초월수

 

 

개요

• 복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함
  
  • 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.
    \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\)
    
  • 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방
    

• 대수적수론 에 비해 훨씬 어렵고, 체계적인 이론이 확립되어 있지 않음.
  
• 보통 period나 regulator로 얻어지는 수가 초월수인지에 관심을 가짐
  

 

 

무리수의 예

• 루트2는 무리수이다
  
• 자연상수 e 는 무리수이다
  
• 파이 π는 무리수이다
  
• ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)
  

 

 

초월수의 예

• 파이는 초월수이다
  
• 자연상수 e는 초월수이다
  
• 타원적분
  
• 겔폰드 상수 \(e^\pi\)
  
  • 겔폰드-슈나이더 정리 참조
    
• 감마함수의 유리수에서의 값
  \(\Gamma(\frac{1}{3})\), \(\Gamma(\frac{2}{3})\), \(\Gamma(\frac{1}{4})\), \(\Gamma(\frac{3}{4})\), \(\Gamma(\frac{1}{6})\), \(\Gamma(\frac{5}{6})\)
  
• 오일러 베타적분
  \(a,b,a+b \in \mathbb{Q-Z}\) 이면 \(B(a,b)\) 는 초월수이다
  

 

 

 

 

린데만-바이어슈트라스 정리

• 린데만-바이어슈트라스 정리
  대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 \(\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})\)의 transcendence degree가 n이다.
  

 

 

겔폰드-슈나이더 정리

• (정리) 겔폰드-슈나이더, 1934
  \(\alpha \ne 0\),\(\alpha \ne 1\),\(\beta\notin \mathbb{Q}\) 인 복소수 \(\alpha\)와 \(\beta\) 가 대수적수이면, \(\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha\) 는 초월수이다.
  
• 겔폰드-슈나이더 정리 항목 참조

 

 

베이커의 정리

• 베이커의 정리
  

 

 

메모

• http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/irrationality.html
  
• http://mathandmultimedia.com/2012/01/06/proof-that-log-2-is-irrational-number/
  

 

 

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 대수적수론
  

 

 

 

하위페이지

• 무리수와 초월수
  
  • periods
    
  • Schanuel의 추측
    
    • 디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)
      
  • ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)
    
  • 겔폰드-슈나이더 정리
    
  • 루트2는 무리수이다
    
  • 루트2를 구할수 있는 여러가지 방법
    
  • 린데만-바이어슈트라스 정리
    
  • 무리수와 디오판투스 근사
    
  • 베이커의 정리
    

 

 

 

관련된 항목들

• 불가능성의 정리들
• periods
• 작도문제
• 가우스와 정17각형의 작도
• 수학의 상수들(mathematical constants)
• 연분수

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/초월수
• http://en.wikipedia.org/wiki/Thue–Siegel–Roth_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond-Schneider_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Gamma_function

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련도서

• On the Algebraic Independence of Numbers
  
  • Yu.V. Nesterenko, in A panorama in number theory, or, The view from Baker's garden (by Alan Baker,Gisbert Wüstholz), 2002
    
• Introduction to algebraic independence theory
  
  • Valentinovich Nesterenko,Patrice Philippo, 2001
• Diophantine approximations and Diophantine equations
  
  • Wolfgang M. Schmidt. Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000
• Transcendental Number Theory
  
  • Alan Baker, Cambridge University Press, 1975
    
• Making Transcendence Transparent: An intuitive approach to classical transcendental number theory
  
  • Edward B. Burger, Robert Tubbs, Springer
    
• Transcendental Numbers
  
  • C.L.Siegel
    

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
• 도서검색
  
  • http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
  • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

 

 

관련논문

• Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)
  
  • Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231

 

 

관련링크 및 웹페이지

• Introduction to Diophantine methods: irrationality and transcendence
• Transcendental number theory
  
  • Michael Filaseta Lecture notes
  • Lindemann's Theorem
  • The Gelfond-Schneider Theorem and Some Related Results
• Arizona Winter School 2008: Special Functions and Transcendence

 

 

 

관련기사

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=초월수
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=무리수
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=

 

 

블로그

• 무리수이야기
  
  • 정경훈, 네이버 오늘의 과학, 2009-6-9