추상대수학

간단한 요약

• 현대대수학의 기본적인 언어이자 대상인, 군, 환, 체의 기본적인 용어 및 이론을 공부함.
• 갈루아 이론 - 군론을 통해 확장체 혹은 대수방정식의 해가 가진 대칭성을 들여다 봄.

 

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 고교 수준의 대수학
  
  • 다항식, 다항방정식
• 기초적인 선형대수학
  
  • 기저, 차원, 선형사상, 행렬, 행렬식
    

다루는 대상

• 군(group)
  
  • 대칭성을 기술하는 언어
  • 항등원, 역원,
• 환(ring)
  
  • 덧셈, 뺄셈, 곱하기가 가능하며, 덧셈과 곱셈 사이에 분배법칙이 성립.
  • 정수의 집합, 다항식의 집합, n x n 행렬들의 집합
• 체(field)
  
  • 실수, 복소수와 같이 사칙연산이 가능.
  • 좀더 일반적으로 곱셈의 교환법칙을 가정하지 않는 경우는 division ring이라 부름.
     
    

중요한 개념 및 정리

• 순환군
• 군론
• 유한생성 아벨군의 기본정리
• 체론(field theory)
• ideal
• 유한체
• 갈루아 체확장

 

유명한 정리 혹은 생각할만한 문제

• 대수학의 기본정리(The fundamental theorem of algebras)의 대수적 증명은 가능한가?
• 해밀턴의 사원수
  
  • 아래 참고할만한 자료
    
    • The Impossibility of a Division Algebra of Vectors in Three Dimensional Space
    • Hamilton's Discovery of Quaternions
      
• 가우스와 정17각형의 작도
• 그리스 3대 작도 불가능문제를 군론을 통해 해결할 수 있음.
• 일반적인 5차 이상의 방정식의 대수적 해가 존재하지 않음에 대한 아벨의 증명
• 유클리드 도메인이 아닌 PID
  
  • 아래 참고할만한 자료
    
    • A Principal Ideal Domain That Is Not a Euclidean Domain
• 7개의 프리즈 패턴
• 17 Plane Crystallographic groups

 

다른 과목과의 관련성

• 정수론
• 선형대수학
• 대수곡선론
  
  • 대수기하학 입문으로서의 대수곡선론
• 대수적위상수학
  
  • 군론
    
    • fundamental group을 정의하기 위해 필요
    • covering space의 deck transformation group
  • 유한생성 아벨군의 기본정리
    
    • 호몰로지를 이해하기 위해 필요
• 조합론
  
  • 번사이드 보조정리

 

 

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• 펠릭스 클라인의 '정이십면체와 5차방정식'
• semisimple rings
  
  • Artin–Wedderburn theorem
• 유한군의 표현론
• 대수적정수론
• Classical groups

 

표준적인 교과서

• A First Course in Abstract Algebra
  
  • John B. Fraleigh

추천도서 및 보조교재

• A History of Abstract Algebra
  
  • Israel Kleiner
    

 

참고할만한 자료

• The Evolution of Algebra 1800-1870
  
  • I. G. Bashmakova and A. N. Rudakov , The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 3 (Mar., 1995), pp. 266-270
• The Evolution of Group Theory: A Brief Survey
  
  • Israel Kleiner, Mathematics Magazine, Vol. 59, No. 4 (Oct., 1986), pp. 195-215
• A History of Lagrange's Theorem on Groups
  
  • Richard L. Roth, Mathematics Magazine, Vol. 74, No. 2 (Apr., 2001), pp. 99-108                              
• Hamilton's Discovery of Quaternions
  
  • B. L. van der Waerden, Mathematics Magazine, Vol. 49, No. 5 (Nov., 1976), pp. 227-234
• The Genesis of the Abstract Ring Concept
  
  • Israel Kleiner, The American Mathematical Monthly, Vol. 103, No. 5 (May, 1996), pp. 417-424
• A Historically Focused Course in Abstract Algebra
  
  • Israel Kleiner, Mathematics Magazine, Vol. 71, No. 2 (Apr., 1998), pp. 105-111
• Galois Theory for Beginners
  
  • John Stillwell, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 22-27
• Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree
  
  • Michael I. Rosen, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 495-505

• A Principal Ideal Domain That Is Not a Euclidean Domain
  
  • Oscar A. Campoli
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 9 (Nov., 1988), pp. 868-871
• Principal Ideal Domains are Almost Euclidean
  
  • John Greene
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 104, No. 2 (Feb., 1997), pp. 154-156