곡선

수학노트
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개요

  • 매개화된 곡선 \(\overrightarrow{r}(t)=(\cos t,\sin t, 3t)\). 

 

 

곡선의 길이

 \((1,0,0)\) 에서 \((1,0,6\pi)\)까지의 곡선의 길이

At \((1,0,0)\), \(t=0\) and at \((1,0,6\pi)\), \(t=2\pi\)

 \(\overrightarrow{r}'(t)=(-\sin t,\cos t, 3)\)

\(|\overrightarrow{r}'(t)| =\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t +9}=\sqrt{10}\)

곡선의 길이는 다음과 같이 주어지게 된다

\(L=\int_{0}^{2\pi}|\overrightarrow{r}'(t)| \,dt=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{10}\,dt=2\sqrt{10}\pi\)

 

 

곡률

  • 곡선의 방향 변화를 재는 양
  • 길이 s를 매개변수로 갖는 곡선\(\overrightarrow{X}(s)\)의 경우, 이계도함수의 절대값으로 주어진다

\(\overrightarrow{T}(t)=\frac{\overrightarrow{r}'(t)}{|\overrightarrow{r}'(t)|}=\frac{(-\sin t,\cos t, 3)}{\sqrt{10}}\)

\(\overrightarrow{T}'(t)=\frac{(-\cos t,-\sin t, 0)}{\sqrt{10}}\)

\(k=\frac{|\overrightarrow{T}'(t)|}{|\overrightarrow{r}'(t)|}=\frac{\frac{|(-\cos t,\sin t, 0)|}{\sqrt{10}}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{10}\)

 

 

 

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관련논문

  • Menninger, Anton. ‘Characterization of the Slant Helix as Successor Curve of the General Helix’. arXiv:1411.0550 [math], 3 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.0550.