"숫자 12와 24"의 두 판 사이의 차이

2016년 4월 3일 (일) 23:32 판

모든 자연수의 합과 리만제타함수\[\zeta(-1)= -\frac{1}{12}\]\[\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12}\]
12 = cusp form이 가질수 있는 가장 작은 weight
판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)

\[\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2 \cdots\] 는 weight 12 cusp form

스털링 공식\[ n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right)\]

아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)\[E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}\]
리치(Leech)격자의 차원
돌발성 단순군 M24
If we take a double cover Mp2(Z) of SL2(Z), we have (Mp2(Z))ab = Z/24.
Ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)

\[\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}\]

분할수의 생성함수(오일러 함수)\[z=q,q=e^{-\epsilon}\] 으로 두면 \(\epsilon\sim 0\) 일 때, \(1-q\sim \epsilon\)\[\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})\]\[\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12\epsilon}+\frac{\epsilon}{24})\]
26=24+2는 보존 끈이론의 차원
- 24는 transverse dimensions
- http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=2910595# post2910595

Leonor Godinho, Frederik von Heymann, Silvia Sabatini, 12, 24 and Beyond, arXiv:1604.00277[math.CO], April 01 2016, http://arxiv.org/abs/1604.00277v1
icosikaitetetrology
http://mathoverflow.net/questions/44866/third-stable-homotopy-group-of-spheres-via-geometry
정수계수 2x2 행렬군의 분류
Bosonic string theory
Fredenhagen, Stefan, Jens Hoppe, and Mariusz Hynek. ‘The Lorentz Anomaly via Operator Product Expansion’. arXiv:1412.6838 [hep-Th], 21 December 2014. http://arxiv.org/abs/1412.6838.

My Favorite Numbers : 5, 8, and 24
- John Baez, The Rankin Lectures, University of Glasgow, September 15-19, 2008
The Square Pyramid Puzzle
- W. S. Anglin, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124
This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 125)
- John Baez, November 3, 1998

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 ==메모==
+* Leonor Godinho, Frederik von Heymann, Silvia Sabatini, 12, 24 and Beyond, arXiv:1604.00277[math.CO], April 01 2016, http://arxiv.org/abs/1604.00277v1
 * icosikaitetetrology
 * http://mathoverflow.net/questions/44866/third-stable-homotopy-group-of-spheres-via-geometry