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*  정의:<math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots</math><br> 여기서 <math>\beta(s)</math> 는 [[디리클레 베타함수]]<br>
 
*  많은 정적분에 등장함<br>
 
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* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]<br><math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br><math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G</math><br> 이로부터 다음을 알 수 있다<br><math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\sin t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2-\frac{G}{2}</math><br><math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\cos t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2+\frac{G}{2}</math><br>
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* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]:<math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math>:<math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G</math><br> 이로부터 다음을 알 수 있다:<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\sin t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2-\frac{G}{2}</math>:<math>\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\cos t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2+\frac{G}{2}</math><br>
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*  그 밖의 정적분 표현<br><math>\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \tan x\, dx=G</math><br><math>G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt</math><br><math>G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy</math><br><math>G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt</math><br><math>\int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt=2G</math><br>
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*  그 밖의 정적분 표현:<math>\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \tan x\, dx=G</math>:<math>G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt</math>:<math>G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy</math>:<math>G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt</math>:<math>\int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt=2G</math><br>
 
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==타원적분과 카탈란==
 
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* [[제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)]]<br>[[제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)|제2종타원적분 E]]<math>\int_0^1  E(k) \,dk=\frac{1}{2}+G</math><br>
 
* [[제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)]]<br>[[제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)|제2종타원적분 E]]<math>\int_0^1  E(k) \,dk=\frac{1}{2}+G</math><br>
  
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==라이프니츠 급수와의 비교==
 
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* [[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]]:<math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math><br>
  
 
 
 
 
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==오일러-맥클로린 공식을 통한 계산==
 
==오일러-맥클로린 공식을 통한 계산==
  
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* [[오일러-맥클로린 공식]]을 적용하기 위해 카탈란 상수를 다음과 같이 쓰자<br><math>G =  \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots  =  (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) + (\frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2}) + \cdots =8\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+1}{(4k+1)^2(4k+3)^2}</math><br>
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* [[오일러-맥클로린 공식]]을 적용하기 위해 카탈란 상수를 다음과 같이 쓰자:<math>G =  \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots  =  (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) + (\frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2}) + \cdots =8\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+1}{(4k+1)^2(4k+3)^2}</math><br>
  
 
 
 
 

2013년 1월 12일 (토) 11:24 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

  • 정의\[G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots\]
    여기서 \(\beta(s)\) 는 디리클레 베타함수
  • 많은 정적분에 등장함

 

 

 

적분표현

  • 로바체프스키와 클라우센 함수\[\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\]\[\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\]
    이로부터 다음을 알 수 있다\[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\sin t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2-\frac{G}{2}\]\[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\cos t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2+\frac{G}{2}\]
  • 그 밖의 정적분 표현\[\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \tan x\, dx=G\]\[G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt\]\[G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy\]\[G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt\]\[\int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt=2G\]
  • dilogarithm 함수

 

 

타원적분과 카탈란

 

 

라이프니츠 급수와의 비교

  • 라이프니츠 급수\[1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\]

 

 

오일러-맥클로린 공식을 통한 계산

  • 오일러-맥클로린 공식을 적용하기 위해 카탈란 상수를 다음과 같이 쓰자\[G = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots = (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) + (\frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2}) + \cdots =8\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+1}{(4k+1)^2(4k+3)^2}\]

 

 

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