"미분기하학"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
==개요==
  
 
* 위상적으로는 국소적으로 유클리드 공간과 같으며, 그 위에 메트릭이 주어진 곡면의 기하학을 공부함.
 
* 위상적으로는 국소적으로 유클리드 공간과 같으며, 그 위에 메트릭이 주어진 곡면의 기하학을 공부함.
 
* [[비유클리드 기하학|비유클리드기하학]]을 이해하는 틀을 배우게 된다
 
* [[비유클리드 기하학|비유클리드기하학]]을 이해하는 틀을 배우게 된다
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*  미분형식을 이용하여 전개할 수도 있고, 미분형식의 언어를 사용하지 않고 크리스토펠 기호를 사용하여 전개할 수도 있다<br>
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*  미분형식을 이용하여 전개할 수도 있고, 미분형식의 언어를 사용하지 않고 크리스토펠 기호를 사용하여 전개할 수도 있다
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==선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들==
 
==선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들==
  
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* [[다변수미적분학]]<br>
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* [[다변수미적분학]]
 
** 매개화된 곡면
 
** 매개화된 곡면
 
* [[상미분방정식]]
 
* [[상미분방정식]]
 
* 기초적인 편미분방정식
 
* 기초적인 편미분방정식
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* [[선형대수학]]<br>
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* [[선형대수학]]
 
** 내적공간
 
** 내적공간
 
** 대칭행렬의 대각화
 
** 대칭행렬의 대각화
  
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==다루는 대상==
 
==다루는 대상==
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* 곡면
 
* 곡면
  
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==중요한 개념 및 정리==
 
==중요한 개념 및 정리==
  
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*  메트릭이 주어진 곡면<br>
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*  메트릭이 주어진 곡면
 
** 제1기본형식(first fundamental form)
 
** 제1기본형식(first fundamental form)
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* [[접속 (connection)|접속(connection)]]
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* [[접속 (connection)]]
 
* 공변미분(covariant derivative)
 
* 공변미분(covariant derivative)
 
* 측지선
 
* 측지선
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*  평행이동<br>
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*  평행이동
 
** 공변미분이 주어지면, 곡선을 따라 벡터를 평행이동할 수 있다
 
** 공변미분이 주어지면, 곡선을 따라 벡터를 평행이동할 수 있다
 
* 가우스 곡률
 
* 가우스 곡률
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* [[search?q=%EA%B0%80%EC%9A%B0%EC%8A%A4%EC%9D%98%20%EB%86%80%EB%9D%BC%EC%9A%B4%20%EC%A0%95%EB%A6%AC%28Theorema%20Egregium%29&parent id=1951508|가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium)]]
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* [[가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium)]]
 
* [[가우스-보네 정리]]
 
* [[가우스-보네 정리]]
  
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==곡면을 이해하는 두 가지 관점==
 
==곡면을 이해하는 두 가지 관점==
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* 학부 미분기하학에서는 곡면에 대한 첫번째 관점에서 두번째 관점으로의 이동을 배우게 됨
 
* 학부 미분기하학에서는 곡면에 대한 첫번째 관점에서 두번째 관점으로의 이동을 배우게 됨
  
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==사용되는 언어==
 
==사용되는 언어==
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* 미분형식
 
* 미분형식
  
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==매개화된 곡면==
 
==매개화된 곡면==
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* <math>X_1:=X_u</math>, <math>X_2:=X_v</math>
 
* <math>X_1:=X_u</math>, <math>X_2:=X_v</math>
  
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==제1기본형식(first fundamental form)과 면적소==
 
==제1기본형식(first fundamental form)과 면적소==
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* 곡면의 제1기본형식은 곡면 상에서 거리와 각도를 재는 방법에 해당한다
 
* 곡면의 제1기본형식은 곡면 상에서 거리와 각도를 재는 방법에 해당한다
 
* 곡면의 접평면마다 내적이 주어진 것으로 이해할 수 있다
 
* 곡면의 접평면마다 내적이 주어진 것으로 이해할 수 있다
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* 메트릭 텐서(metric tensor)라고도 한다
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* [[계량 텐서 (metric tensor)]]라고도 한다
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*  제1기본형식<br><math>ds^2 =(X_u du+X_v dv)\cdot (X_u du+X_v dv)= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2</math><br>
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*  제1기본형식
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*  면적소<br><math>dA=\sqrt{EG-F^2} \, du\, dv</math><br>
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:<math>ds^2 =(X_u du+X_v dv)\cdot (X_u du+X_v dv)= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2</math>
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*  3차원의 곡면에 대해서는 다음과 같이 계산할 수 있다<br><math>g_{ij} : = X_i \cdot X_j</math><br><math>E=g_{11}</math>, <math>F=g_{12}=g_{21}</math>, <math>G=g_{22}</math><br><math>ds^2 =(X_u du+X_v dv)\cdot (X_u du+X_v dv)= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2</math><br>
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*  면적소:<math>dA=\sqrt{EG-F^2} \, du\, dv</math>
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*  3차원의 곡면에 대해서는 다음과 같이 계산할 수 있다:<math>g_{ij} : = X_i \cdot X_j</math>:<math>E=g_{11}</math>, <math>F=g_{12}=g_{21}</math>, <math>G=g_{22}</math>:<math>ds^2 =(X_u du+X_v dv)\cdot (X_u du+X_v dv)= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2</math>
  
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==접속(connection)==
 
==접속(connection)==
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* 방향미분의 일반화
 
* 방향미분의 일반화
 
* 벡터장 <math>{\mathbf v}</math>와 벡터장 <math> {\mathbf Y}</math>에 대해서 정의되며, 벡터장 <math>\nabla_{\mathbf v} {\mathbf Y}</math> 을 얻는다
 
* 벡터장 <math>{\mathbf v}</math>와 벡터장 <math> {\mathbf Y}</math>에 대해서 정의되며, 벡터장 <math>\nabla_{\mathbf v} {\mathbf Y}</math> 을 얻는다
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*  다음 성질을 가진다<br><math>\begin{align}&\nabla_X(Y_1 + Y_2) = \nabla_XY_1 + \nabla_XY_2\\ &\nabla_{X_1 + X_2}Y = \nabla_{X_1}Y + \nabla_{X_2}Y\\ &\nabla_{X}(fY) = f\nabla_XY + X(f)Y\\ &\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY\end{align}</math><br>
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*  다음 성질을 가진다:<math>\begin{align}&\nabla_X(Y_1 + Y_2) = \nabla_XY_1 + \nabla_XY_2\\ &\nabla_{X_1 + X_2}Y = \nabla_{X_1}Y + \nabla_{X_2}Y\\ &\nabla_{X}(fY) = f\nabla_XY + X(f)Y\\ &\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY\end{align}</math>
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*  적당한 1-form <math>A_{ij}</math>에 대하여, 다음과 같이 표현할수 있다<br><math>\nabla X_i = \sum_{j=1}^{2} A_{ij}\otimes X_j= A_{i}^{j}\otimes X_j</math><br><math>A_{ij}= A_{i}^{j}</math> 로 두었다<br>
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*  적당한 1-form <math>A_{ij}</math>에 대하여, 다음과 같이 표현할수 있다:<math>\nabla X_i = \sum_{j=1}^{2} A_{ij}\otimes X_j= A_{i}^{j}\otimes X_j</math>:<math>A_{ij}= A_{i}^{j}</math> 로 두었다
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*  여기서 1-form <math>A_{ij}</math>는 벡터장 <math>{\mathbf v}</math>에 대하여 다음을 만족시킴<br><math>\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \sum_{j=1}^{2} A_{ij}({\mathbf v}) X_j</math><br>
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*  여기서 1-form <math>A_{ij}</math>는 벡터장 <math>{\mathbf v}</math>에 대하여 다음을 만족시킴:<math>\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \sum_{j=1}^{2} A_{ij}({\mathbf v}) X_j</math>
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*  이때의 <math>A=(A_{ij})</math> 를 접속 1형식(1-form)이라고 부른다<br>
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*  이때의 <math>A=(A_{ij})</math> 를 접속 1형식(1-form)이라고 부른다
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* <math>F=dA+A\wedge A</math> 는 곡률 2형식(2-form) 이라 부른다<br>
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* <math>F=dA+A\wedge A</math> 는 곡률 2형식(2-form) 이라 부른다
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* 3차원의 매개화된 곡면의 경우, 접속은  벡터장의 방향미분을 취한뒤, 곡면에 수직한 성분을 빼주는 것으로 얻어진다
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* 3차원의 매개화된 곡면의 경우, 접속은  벡터장의 방향미분을 취한뒤, 곡면에 수직한 성분을 빼주는 것으로 얻어진다
 
* [[접속 (connection)|접속(connection)]] 항목 참조
 
* [[접속 (connection)|접속(connection)]] 항목 참조
  
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==크리스토펠 기호==
 
==크리스토펠 기호==
  
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*  정의된 접속형식으로부터 다음과 같이 크리스토펠 기호 <math>{\Gamma^k}_{ij}</math>, <math>i,j,k\in\{1,2\}</math>를 정의한다<br><math>\nabla_iX_j = {\Gamma^k}_{ij}X_k</math><br>
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*  정의된 접속형식으로부터 다음과 같이 크리스토펠 기호 <math>{\Gamma^k}_{ij}</math>, <math>i,j,k\in\{1,2\}</math>를 정의한다:<math>\nabla_iX_j = {\Gamma^k}_{ij}X_k</math>
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*  접속형식 <math>A=(A_{ij})</math>을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다<br><math>\nabla_i X_j = A_{j}^{k}(X_i) X_k</math><br> 즉 <math> A_{jk}(X_i)={\Gamma^k}_{ij}</math><br>
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*  접속형식 <math>A=(A_{ij})</math>을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다:<math>\nabla_i X_j = A_{j}^{k}(X_i) X_k</math> 즉 <math> A_{jk}(X_i)={\Gamma^k}_{ij}</math>
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*  3차원 상의 매개화된 곡면의 경우에는 다음과 같이 얻어진다(아래의 *는 곡면에 수직한 성분을 뜻함)<br><math>X_{uu}=\Gamma^1_{11}X_u+\Gamma^2_{11}X_v+(*)</math><br><math>X_{uv}=\Gamma^1_{12}X_u+\Gamma^2_{12}X_v+(*)</math><br><math>X_{vu}=\Gamma^1_{21}X_u+\Gamma^2_{21}X_v+(*)</math><br><math>X_{vv}=\Gamma^1_{22}X_u+\Gamma^2_{22}X_v+(*)</math><br>
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*  3차원 상의 매개화된 곡면의 경우에는 다음과 같이 얻어진다(아래의 *는 곡면에 수직한 성분을 뜻함):<math>X_{uu}=\Gamma^1_{11}X_u+\Gamma^2_{11}X_v+(*)</math>:<math>X_{uv}=\Gamma^1_{12}X_u+\Gamma^2_{12}X_v+(*)</math>:<math>X_{vu}=\Gamma^1_{21}X_u+\Gamma^2_{21}X_v+(*)</math>:<math>X_{vv}=\Gamma^1_{22}X_u+\Gamma^2_{22}X_v+(*)</math>
 
* 제1기본형식을 이용한 표현
 
* 제1기본형식을 이용한 표현
 
* [[크리스토펠 기호]] 항목 참조
 
* [[크리스토펠 기호]] 항목 참조
  
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==공변미분(covariant derivative), 평행이동, 측지선==
 
==공변미분(covariant derivative), 평행이동, 측지선==
  
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*  곡선 <math>\alpha : I \to M</math> 를 따라 정의된 벡터장 <math>Y</math>에 대하여, 공변미분은 다음과 같이 정의됨<br><math>\frac{DY}{dt}=\nabla_{\alpha'(t)}Y</math><br>
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*  곡선 <math>\alpha : I \to M</math> 를 따라 정의된 벡터장 <math>Y</math>에 대하여, 공변미분은 다음과 같이 정의됨:<math>\frac{DY}{dt}=\nabla_{\alpha'(t)}Y</math>
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* 곡선 <math>\alpha : I \to M</math> 를 따라 정의된 벡터장 <math>Y</math>에 대하여, 공변미분이 0이 되는 경우, 즉 <math>\nabla_{\alpha'(t)}Y=0</math> 인 경우, 벡터장 <math>Y</math>는 곡선 <math>\alpha</math>를 따라 평행하다고 한다
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* 곡선 <math>\alpha : I \to M</math> 를 따라 정의된 벡터장 <math>Y</math>에 대하여, 공변미분이 0이 되는 경우, 즉 <math>\nabla_{\alpha'(t)}Y=0</math> 인 경우, 벡터장 <math>Y</math>는 곡선 <math>\alpha</math>를 따라 평행하다고 한다
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* 곡선 <math>\alpha : I \to M</math>가  <math>\nabla_{\alpha'(t)}\alpha'(t)=0</math>를 만족시키는 경우, 곡선 <math>\alpha</math>를 이 곡면의 측지선이라 부른다
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* 곡선 <math>\alpha : I \to M</math>가  <math>\nabla_{\alpha'(t)}\alpha'(t)=0</math>를 만족시키는 경우, 곡선 <math>\alpha</math>를 이 곡면의 측지선이라 부른다
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*  coordinate chart 에서 <math>\alpha(t)=(\alpha_1(t),\alpha_2(t))</math> 로 표현되는 경우, 크리스토펠 기호를 쓰면 측지선은 다음 미분방정식을 만족시킨다<br><math>\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0</math><br>
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*  coordinate chart 에서 <math>\alpha(t)=(\alpha_1(t),\alpha_2(t))</math> 로 표현되는 경우, 크리스토펠 기호를 쓰면 측지선은 다음 미분방정식을 만족시킨다:<math>\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0</math>
 
* [[측지선]]
 
* [[측지선]]
  
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==가우스곡률과 가우스의 정리==
 
==가우스곡률과 가우스의 정리==
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* 곡면에 정의된 가우스곡률은 곡선의 곡률과 마찬가지로, 곡면에 수직인 정규벡터(normal vector)의 변화와 관련된 개념
 
* 곡면에 정의된 가우스곡률은 곡선의 곡률과 마찬가지로, 곡면에 수직인 정규벡터(normal vector)의 변화와 관련된 개념
 
* 가우스의 정리는 이러한 곡률을 곡면의 제1기본형식을 통해서 표현할 수 있음을 말해준다
 
* 가우스의 정리는 이러한 곡률을 곡면의 제1기본형식을 통해서 표현할 수 있음을 말해준다
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*  가우스곡률은 <math>F=0</math>인 제1기본형식에 대하여, 다음과 같이 주어진다<br><math>K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)</math><br>
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*  가우스곡률은 <math>F=0</math>인 제1기본형식에 대하여, 다음과 같이 주어진다:<math>K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)</math>
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* 곡률의 개념이 곡면이 3차원에 놓인 상태와는 무관하며, 곡면에서 측량할 수 있다는 사실을 말해줌
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* 곡률의 개념이 곡면이 3차원에 놓인 상태와는 무관하며, 곡면에서 측량할 수 있다는 사실을 말해줌
 
* [[가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium)]] 항목 참조
 
* [[가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium)]] 항목 참조
 
* [[가우스 곡률|가우스곡률]]
 
* [[가우스 곡률|가우스곡률]]
  
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==곡면의 예==
 
==곡면의 예==
  
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*  유클리드평면, [[구면(sphere)]], [[푸앵카레 상반평면 모델|푸앵카레 상반평면]] 세가지 상수 곡률 곡면<br>
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*  유클리드평면, [[구면(sphere)]], [[푸앵카레 상반평면 모델|푸앵카레 상반평면]] 세가지 상수 곡률 곡면
 
** 이들 곡면은 각각 유클리드기하학, 구면기하학, 쌍곡기하학의 모델
 
** 이들 곡면은 각각 유클리드기하학, 구면기하학, 쌍곡기하학의 모델
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=pseudosphere
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=pseudosphere
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=sphere
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=sphere
  
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==역사==
 
==역사==
  
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* [[수학사 연표]]
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* 1829 - 볼리아이, 가우스, 로바체프스키가 [[쌍곡기하학]]을 발견
+
* 1829 - 볼리아이, 가우스, 로바체프스키가 [[쌍곡기하학]]을 발견
 
* 1854 - 리만이 리만기하학을 소개
 
* 1854 - 리만이 리만기하학을 소개
  
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==메모==
 
==메모==
 +
* López, Rafael. “Differential Geometry of Curves and Surfaces in Lorentz-Minkowski Space.” arXiv:0810.3351 [math], October 18, 2008. http://arxiv.org/abs/0810.3351.
  
 
* [http://math.uh.edu/%7Eminru/Riemann09/five1.pdf http://math.uh.edu/~minru/Riemann09/five1.pdf]
 
* [http://math.uh.edu/%7Eminru/Riemann09/five1.pdf http://math.uh.edu/~minru/Riemann09/five1.pdf]
  
−
 
+
==유명한 정리 혹은 재미있는 문제==
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/26/785 구면삼각형의 넓이에 대한 Girard-Harriot의 정리]
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==관련된 항목들==
  
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==다른 과목과의 관련성==
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* [[구면기하학]]
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* [[쌍곡기하학]]
  
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* [[대수적위상수학|대수적 위상수학]]<br>
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**  오일러의 정리 V-E+F = 2-2g<br>
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===다른 과목과의 관련성===
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* [[대수적위상수학]]
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**  오일러의 정리 V-E+F = 2-2g
 
*** g = 곡면의 종수(genus), 쉽게 말하면 구멍의 개수. 구면은 g=0, 도넛모양은 g=1
 
*** g = 곡면의 종수(genus), 쉽게 말하면 구멍의 개수. 구면은 g=0, 도넛모양은 g=1
 
*** 가우스-보네 정리를 이해하는데 필수적인 개념
 
*** 가우스-보네 정리를 이해하는데 필수적인 개념
−
* [[복소함수론]]<br>
+
* [[복소함수론]]
 
** 단위원 또는 [[푸앵카레 상반평면 모델]]의 group of conformal automorphisms = group of isometries
 
** 단위원 또는 [[푸앵카레 상반평면 모델]]의 group of conformal automorphisms = group of isometries
−
** [[search?q=Uniformization%20theorem&parent id=1951508|Uniformization theorem]]
+
** [[Uniformization theorem]]
−
* [[추상대수학]]<br>
+
* [[추상대수학]]
 
** 군론 - discrete subgroups of isometry group
 
** 군론 - discrete subgroups of isometry group
 
** 클라인의 에를랑겐 프로그램(Erlangen Program)
 
** 클라인의 에를랑겐 프로그램(Erlangen Program)
−
* [[미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학|미분형식 (differential forms)과 multilinear algebra]]<br>
+
* [[미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학|미분형식 (differential forms)과 multilinear algebra]]
 
** 다변수미적분학과 미분기하학을 고차원의 다양체로 확장하기 위해 필요한 언어
 
** 다변수미적분학과 미분기하학을 고차원의 다양체로 확장하기 위해 필요한 언어
  
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===관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들===
  
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==관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들==
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*  미분다양체론(differentiable manifolds)
−
 
 
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*  미분다양체론(differentiable manifolds)<br>
 
 
** 다양체란 1차원 공간인 곡선, 2차원 공간인 곡면을 일반화한 n차원의 공간
 
** 다양체란 1차원 공간인 곡선, 2차원 공간인 곡면을 일반화한 n차원의 공간
 
** 미분다양체는 미적분학을 할 수 있는 다양체를 뜻함
 
** 미분다양체는 미적분학을 할 수 있는 다양체를 뜻함
−
*  리만기하학(Riemannian geometry)<br>
+
*  리만기하학(Riemannian geometry)
 
** 곡면에 메트릭을 주는 것을 일반화하여 메트릭이 주어진 미분다양체를 공부함
 
** 곡면에 메트릭을 주는 것을 일반화하여 메트릭이 주어진 미분다양체를 공부함
 
* 리군과 Symmetric spaces의 분류
 
* 리군과 Symmetric spaces의 분류
  
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==유명한 정리 혹은 재미있는 문제==
 
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/26/785 구면삼각형의 넓이에 대한 Girard-Harriot의 정리]
 
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==관련된 항목들==
 
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* [[구면기하학]]
 
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* [[쌍곡기하학]]
 
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==수학용어번역==
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=fundamental+form
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=connection
 
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
  
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==사전 형태의 자료==
  
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/미분기하학
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==사전 형태의 자료==
 
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AF%B8%EB%B6%84%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99 http://ko.wikipedia.org/wiki/미분기하학]
 
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/differential_geometry
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/differential_geometry
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/First_fundamental_form
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/First_fundamental_form
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative
 
* http://mathworld.wolfram.com/ChristoffelSymboloftheSecondKind.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/ChristoffelSymboloftheSecondKind.html
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
  
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+
==리뷰, 에세이, 강의노트==
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+
* Gourgoulhon, Eric, Michal Bejger, and Marco Mancini. ‘Tensor Calculus with Open-Source Software: The SageManifolds Project’. arXiv:1412.4765 [gr-Qc, Physics:hep-Th, Physics:math-Ph], 15 December 2014. http://arxiv.org/abs/1412.4765.
−
==관련논문==
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* [http://www.jstor.org/stable/2974765 Geometry and the Foucault Pendulum]
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
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* [http://www.jstor.org/stable/2974765 Geometry and the Foucault Pendulum]<br>
 
 
** John Oprea, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 515-522
 
** John Oprea, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 515-522
−
* [http://www.jstor.org/stable/2319962 Kleinian Transformation Geometry]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2319962 Kleinian Transformation Geometry]
 
** Richard S. Millman, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 84, No. 5 (May, 1977), pp. 338-349
 
** Richard S. Millman, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 84, No. 5 (May, 1977), pp. 338-349
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* [http://www.jstor.org/stable/2319607 The Geometry of Connections]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2319607 The Geometry of Connections]
 
** R. S. Millman and Ann K. Stehney, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 80, No. 5 (May, 1973), pp. 475-500
 
** R. S. Millman and Ann K. Stehney, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 80, No. 5 (May, 1973), pp. 475-500
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* [http://www.jstor.org/stable/2321093 From Triangles to Manifolds]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2321093 From Triangles to Manifolds]
 
** Shing-Shen Chern, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 86, No. 5 (May, 1979), pp. 339-349
 
** Shing-Shen Chern, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 86, No. 5 (May, 1979), pp. 339-349
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* [http://www.jstor.org/stable/2974912 How Hyperbolic Geometry Became Respectable]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2974912 How Hyperbolic Geometry Became Respectable]
 
** Abe Shenitzer, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 101, No. 5 (May, 1994), pp. 464-470
 
** Abe Shenitzer, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 101, No. 5 (May, 1994), pp. 464-470
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==표준적인 교과서==
 
==표준적인 교과서==
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* do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces.
 
* do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces.
  
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==추천도서 및 보조교재==
 
==추천도서 및 보조교재==
  
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* [http://www.amazon.com/Gateway-Modern-Geometry-Poincare-Half-Plane/dp/0763753815/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1259658855&sr=1-1 Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)]<br>
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* [http://www.amazon.com/Gateway-Modern-Geometry-Poincare-Half-Plane/dp/0763753815/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1259658855&sr=1-1 Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)]
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**  S. Stahl, Jones & Bartlett Publishers; 2 edition (November 25, 2007)<br>
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**  S. Stahl, Jones & Bartlett Publishers; 2 edition (November 25, 2007)
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* [http://www.amazon.com/Geometry-Surfaces-John-Stillwell/dp/0387977430 Geometry of Surfaces]<br>
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* [http://www.amazon.com/Geometry-Surfaces-John-Stillwell/dp/0387977430 Geometry of Surfaces]
 
** John Stillwell
 
** John Stillwell
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* [http://www.amazon.com/Shape-Space-Pure-Applied-Mathematics/dp/0824707095 The Shape of Space]<br>
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* [http://www.amazon.com/Shape-Space-Pure-Applied-Mathematics/dp/0824707095 The Shape of Space]
 
** Jeffrey R. Weeks
 
** Jeffrey R. Weeks
 
** 일반 독자를 위한 책
 
** 일반 독자를 위한 책
 
[[분류:교과목]]
 
[[분류:교과목]]
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[[분류:미분기하학]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q188444 Q188444]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'differential'}, {'LEMMA': 'geometry'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:43 기준 최신판

개요

  • 위상적으로는 국소적으로 유클리드 공간과 같으며, 그 위에 메트릭이 주어진 곡면의 기하학을 공부함.
  • 비유클리드기하학을 이해하는 틀을 배우게 된다
  • 미분형식을 이용하여 전개할 수도 있고, 미분형식의 언어를 사용하지 않고 크리스토펠 기호를 사용하여 전개할 수도 있다



선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들



다루는 대상

  • 곡선
  • 곡면


중요한 개념 및 정리



곡면을 이해하는 두 가지 관점

  • 3차원 공간에 놓인 곡면
  • 3차원 공간을 생각하지 않고, 거리와 각도를 잴 수 있는 방식이 주어진 곡면
  • 학부 미분기하학에서는 곡면에 대한 첫번째 관점에서 두번째 관점으로의 이동을 배우게 됨



사용되는 언어

  • 텐서 해석학
  • 미분형식



매개화된 곡면

  • \(X(u,v)\)
  • 벡터장
  • \(X_1:=X_u\), \(X_2:=X_v\)



제1기본형식(first fundamental form)과 면적소

  • 곡면의 제1기본형식은 곡면 상에서 거리와 각도를 재는 방법에 해당한다
  • 곡면의 접평면마다 내적이 주어진 것으로 이해할 수 있다
  • 계량 텐서 (metric tensor)라고도 한다
  • 제1기본형식

\[ds^2 =(X_u du+X_v dv)\cdot (X_u du+X_v dv)= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\]

  • 면적소\[dA=\sqrt{EG-F^2} \, du\, dv\]
  • 3차원의 곡면에 대해서는 다음과 같이 계산할 수 있다\[g_{ij} : = X_i \cdot X_j\]\[E=g_{11}\], \(F=g_{12}=g_{21}\), \(G=g_{22}\)\[ds^2 =(X_u du+X_v dv)\cdot (X_u du+X_v dv)= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\]



접속(connection)

  • 방향미분의 일반화
  • 벡터장 \({\mathbf v}\)와 벡터장 \( {\mathbf Y}\)에 대해서 정의되며, 벡터장 \(\nabla_{\mathbf v} {\mathbf Y}\) 을 얻는다
  • 다음 성질을 가진다\[\begin{align}&\nabla_X(Y_1 + Y_2) = \nabla_XY_1 + \nabla_XY_2\\ &\nabla_{X_1 + X_2}Y = \nabla_{X_1}Y + \nabla_{X_2}Y\\ &\nabla_{X}(fY) = f\nabla_XY + X(f)Y\\ &\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY\end{align}\]
  • 적당한 1-form \(A_{ij}\)에 대하여, 다음과 같이 표현할수 있다\[\nabla X_i = \sum_{j=1}^{2} A_{ij}\otimes X_j= A_{i}^{j}\otimes X_j\]\[A_{ij}= A_{i}^{j}\] 로 두었다
  • 여기서 1-form \(A_{ij}\)는 벡터장 \({\mathbf v}\)에 대하여 다음을 만족시킴\[\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \sum_{j=1}^{2} A_{ij}({\mathbf v}) X_j\]
  • 이때의 \(A=(A_{ij})\) 를 접속 1형식(1-form)이라고 부른다
  • \(F=dA+A\wedge A\) 는 곡률 2형식(2-form) 이라 부른다
  • 3차원의 매개화된 곡면의 경우, 접속은 벡터장의 방향미분을 취한뒤, 곡면에 수직한 성분을 빼주는 것으로 얻어진다
  • 접속(connection) 항목 참조




크리스토펠 기호

  • 정의된 접속형식으로부터 다음과 같이 크리스토펠 기호 \({\Gamma^k}_{ij}\), \(i,j,k\in\{1,2\}\)를 정의한다\[\nabla_iX_j = {\Gamma^k}_{ij}X_k\]
  • 접속형식 \(A=(A_{ij})\)을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다\[\nabla_i X_j = A_{j}^{k}(X_i) X_k\] 즉 \( A_{jk}(X_i)={\Gamma^k}_{ij}\)
  • 3차원 상의 매개화된 곡면의 경우에는 다음과 같이 얻어진다(아래의 *는 곡면에 수직한 성분을 뜻함)\[X_{uu}=\Gamma^1_{11}X_u+\Gamma^2_{11}X_v+(*)\]\[X_{uv}=\Gamma^1_{12}X_u+\Gamma^2_{12}X_v+(*)\]\[X_{vu}=\Gamma^1_{21}X_u+\Gamma^2_{21}X_v+(*)\]\[X_{vv}=\Gamma^1_{22}X_u+\Gamma^2_{22}X_v+(*)\]
  • 제1기본형식을 이용한 표현
  • 크리스토펠 기호 항목 참조



공변미분(covariant derivative), 평행이동, 측지선

  • 곡선 \(\alpha : I \to M\) 를 따라 정의된 벡터장 \(Y\)에 대하여, 공변미분은 다음과 같이 정의됨\[\frac{DY}{dt}=\nabla_{\alpha'(t)}Y\]
  • 곡선 \(\alpha : I \to M\) 를 따라 정의된 벡터장 \(Y\)에 대하여, 공변미분이 0이 되는 경우, 즉 \(\nabla_{\alpha'(t)}Y=0\) 인 경우, 벡터장 \(Y\)는 곡선 \(\alpha\)를 따라 평행하다고 한다
  • 곡선 \(\alpha : I \to M\)가 \(\nabla_{\alpha'(t)}\alpha'(t)=0\)를 만족시키는 경우, 곡선 \(\alpha\)를 이 곡면의 측지선이라 부른다
  • coordinate chart 에서 \(\alpha(t)=(\alpha_1(t),\alpha_2(t))\) 로 표현되는 경우, 크리스토펠 기호를 쓰면 측지선은 다음 미분방정식을 만족시킨다\[\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0\]
  • 측지선




가우스곡률과 가우스의 정리

  • 곡면에 정의된 가우스곡률은 곡선의 곡률과 마찬가지로, 곡면에 수직인 정규벡터(normal vector)의 변화와 관련된 개념
  • 가우스의 정리는 이러한 곡률을 곡면의 제1기본형식을 통해서 표현할 수 있음을 말해준다
  • 가우스곡률은 \(F=0\)인 제1기본형식에 대하여, 다음과 같이 주어진다\[K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)\]
  • 곡률의 개념이 곡면이 3차원에 놓인 상태와는 무관하며, 곡면에서 측량할 수 있다는 사실을 말해줌
  • 가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium) 항목 참조
  • 가우스곡률



곡면의 예



역사



메모

  • López, Rafael. “Differential Geometry of Curves and Surfaces in Lorentz-Minkowski Space.” arXiv:0810.3351 [math], October 18, 2008. http://arxiv.org/abs/0810.3351.

유명한 정리 혹은 재미있는 문제



관련된 항목들


다른 과목과의 관련성


관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

  • 미분다양체론(differentiable manifolds)
    • 다양체란 1차원 공간인 곡선, 2차원 공간인 곡면을 일반화한 n차원의 공간
    • 미분다양체는 미적분학을 할 수 있는 다양체를 뜻함
  • 리만기하학(Riemannian geometry)
    • 곡면에 메트릭을 주는 것을 일반화하여 메트릭이 주어진 미분다양체를 공부함
  • 리군과 Symmetric spaces의 분류




사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

표준적인 교과서

  • do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces.



추천도서 및 보조교재

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'differential'}, {'LEMMA': 'geometry'}]
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