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<h5>간단한 소개</h5>
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==개요==
  
*  베르누이 수는 수학의 많은 곳에서 마주치게 되는, 중요한 수열[[2040024|]]<br>
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*  베르누이 수는 수학의 많은 곳에서 마주치게 되는, 중요한 수열
** [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]
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** [[정수에서의 리만제타함수의 값]]
** [[모든 자연수의 합과 리만제타함수|리만제타함수의 -1에서의 값]]
 
 
** [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
 
** [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
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* 베르누이 수의 [[생성함수]]는 다음과 같이 주어진다.
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:<math>\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math>
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===테이블===
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*  처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다
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:<math>
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\begin{array}{c|ccccccccccccccccc}
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n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\
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\hline
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B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510}
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\end{array}
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</math>
  
 
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==베르누이 수의 성질==
 
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;정리 (폰 슈타우트-클라우센)
베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.
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정수 <math>k\in 2\mathbb{Z}_{>0}</math>에 대하여, 다음이 성립한다
 
+
:<math>B_{k} + \sum_{(p-1)|k} \frac{1}{p} \in \mathbb{Z}.</math>
 
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;따름정리
 
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베르누이 <math>B_k=\frac{N_k}{D_k}</math> (여기서 <math>N_k, D_k</math>은 서로소)의 분모 <math>D_k</math><math>p-1|k</math> 만족하는 모든 소수 <math>p</math>의 곱으로 주어진다.
<math>\frac{t e^{t}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math>
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===예===
 
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* <math>D_4=30 = 2 \times 3 \times 5</math>
 
+
* <math>D_{10}= 66 =  2 \times 3 \times 11</math>
 
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* <math>D_{12}= 2730 =  2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13</math>
처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다.
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* [[폰 슈타우트-클라우센 정리]] 항목 참조
 
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* [[베르누이 수에 대한 쿰머 합동식]]
<math>B_0=1</math>, <math>B_1=-{1 \over 2}</math>, <math>B_2={1\over 6}</math>, <math>B_3=0</math>, <math>B_4=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_5=0</math>, <math>B_6=\frac{1}{42}</math>, <math>B_8=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_{10}=\frac{5}{66}</math>, <math>B_{12}=-\frac{691}{2730}</math>,<math>B_{14}=\frac{7}{6}</math>
 
 
 
 
 
 
 
{1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, 0, -691/2730, 0, 7/6, 0, -3617/510, 0, 43867/798, 0, -174611/330}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>베르누이 수의 성질</h5>
 
 
 
* <math>B_m=\frac{N_m}{D_m}</math> (여기서 <math>N_m, D_m</math>은 서로소) 으로 쓰면 <math>D_m</math>은 <math>p-1|m</math> 을 만족하는 모든 소수 <math>p</math>의 곱으로 주어짐<br>
 
** <math>D_4=30 = 2 \times 3 \times 5</math>
 
** <math>D_{10}= 66 =  2 \times 3 \times 11</math>
 
** <math>D_{12}= 2730 =  2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13</math>
 
 
 
 
 
 
 
<h5>삼각함수의 급수 표현</h5>
 
  
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==멱급수와 베르누이 수==
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===삼각함수의 급수 표현===
 
* 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
 
* 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
 
* 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.
 
* 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.
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:<math>
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\begin{align}
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\tan x &= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\\
 +
\cot x &= \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}
 +
\end{align}
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</math>
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===쌍곡함수의 급수표현===
 
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* 쌍곡함수에 대해서도 유사한 결과를 얻는다
<math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>
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:<math>
 
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\begin{align}
<math>\cot x  =  \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>
+
\tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},& \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\\
 
+
\coth x &= \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!},& 0 < \left |x \right | < \pi
 
+
\end{align}
 
+
</math>
<h5>쌍곡함수의 급수표현</h5>
 
 
 
<math>\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}</math>
 
 
 
<math>\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi</math>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>베르누이 다항식</h5>
 
 
 
베르누이 수보다 좀 더 일반적으로, 베르누이 다항식의 생성함수는 다음과 같이 정의된다.
 
 
 
 
 
 
 
<math>\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}</math>
 
 
 
 
 
 
 
좀더 자세히 쓰면
 
 
 
 
 
 
 
<math>B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}</math>
 
 
 
여기서 <math>B_k</math> 는 베르누이 수
 
 
 
 
 
 
 
처음 몇 베르누이 다항식은 다음과 같다.
 
 
 
 
 
 
 
<math>B_0(x)=1</math>
 
 
 
<math>B_1(x)=x-1/2</math>
 
 
 
<math>B_2(x)=x^2-x+1/6</math>
 
  
<math>B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\</math>
+
  
 
+
===로바체프스키함수===
  
<math>B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}</math>
+
* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]:<math>\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}</math>
  
<math>B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x</math>
+
  
 
+
===다이감마 함수===
  
<math>B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}</math>
+
* [[다이감마 함수(digamma function)]]:<math>\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}</math>
  
베르누이 다항식 <math>B_k (x) </math> 는 다음과 같은 성질을 가진다. (점화 관계)
+
  
<math>\frac{d }{dt}B_k (x) = B_{k-1} (x)</math>
+
  
 
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==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
 
 
<h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
 
  
 
* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
 
* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
 
* [[오일러-맥클로린 공식]]
 
* [[오일러-맥클로린 공식]]
  
 
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<h5>관련된 대학원 과목</h5>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>관련된 다른 주제들</h5>
 
  
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==관련된 항목들==
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* [[베르누이 수에 대한 쿰머 합동식]]
 
* [[오일러수]]
 
* [[오일러수]]
 +
* [[정규소수 (regular prime)]]
 +
* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]
  
 
 
  
<h5>표준적인 도서 추천도서</h5>
+
==매스매티카 파일 계산 리소스==
 +
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcnNqLXZYbmVMSkE/edit
  
* http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
  
 
 
 
<h5>위키링크</h5>
 
  
 +
==사전 형태의 자료==
 +
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_numbers
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials
* http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_numbers
 
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
  
 
 
  
 
+
==리뷰, 에세이, 강의노트==
 +
* B. Mazur, [http://www.math.wisc.edu/%7Eboston/Bernoulli.pdf Bernoulli numbers and the unity of mathematics]
 +
* Deeba, Elias Y., and Dennis M. Rodriguez. “Stirling’s Series and Bernoulli Numbers.” The American Mathematical Monthly 98, no. 5 (1991): 423–26. doi:10.2307/2323860.
 +
* Girstmair, Kurt. “A Theorem on the Numerators of the Bernoulli Numbers.” The American Mathematical Monthly 97, no. 2 (1990): 136–38. doi:10.2307/2323915. http://www.jstor.org/stable/2323915
 +
 
 +
==관련논문==
 +
* Anglès, Bruno, and Floric Tavares Ribeiro. “Exceptional Zeros of <math>L</math>-Series and Bernoulli-Carlitz Numbers.” arXiv:1511.06209 [math], November 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.06209.
 +
* Kaneko, Hajime, and Takao Komatsu. “Cauchy-Carlitz Numbers.” arXiv:1508.01858 [math], August 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01858.
 +
* Chapoton, Frédéric, and Jiang Zeng. “Carlitz Q-Bernoulli Numbers and Continued Fractions.” arXiv:1507.04123 [math], July 15, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.04123.
 +
* Dixit, Atul, M. Lawrence Glasser, Victor H. Moll, and Christophe Vignat. ‘The Zagier Polynomials. Part III: Asymptotics and Exact Formulas’. arXiv:1506.07612 [math], 25 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07612.
 +
* Bruner, Marie-Louise. ‘Central Binomial Coefficients Also Count (2431,4231,1432,4132)-Avoiders’. arXiv:1505.04929 Null, 19 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.04929.
 +
 
 +
 
  
<h5>참고할만한 자료</h5>
+
[[분류:수열]]
 +
[[분류:목록]]
  
* [http://www.jstor.org/stable/2323860 Stirling's Series and Bernoulli Numbers]<br>
+
==메타데이터==
** Elias Y. Deeba and Dennis M. Rodriguez, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 5 (May, 1991), pp. 423-426
+
===위키데이터===
* [http://www.jstor.org/stable/2323915 A Theorem on the Numerators of the Bernoulli Numbers]<br>
+
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q694114 Q694114]
** Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 136-138
+
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'bernoulli'}, {'LEMMA': 'number'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:44 기준 최신판

개요

\[\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\]

테이블

  • 처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다

\[ \begin{array}{c|ccccccccccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510} \end{array} \]

베르누이 수의 성질

정리 (폰 슈타우트-클라우센)

정수 \(k\in 2\mathbb{Z}_{>0}\)에 대하여, 다음이 성립한다 \[B_{k} + \sum_{(p-1)|k} \frac{1}{p} \in \mathbb{Z}.\]

따름정리

베르누이 수 \(B_k=\frac{N_k}{D_k}\) (여기서 \(N_k, D_k\)은 서로소)의 분모 \(D_k\)는 \(p-1|k\) 을 만족하는 모든 소수 \(p\)의 곱으로 주어진다.


멱급수와 베르누이 수

삼각함수의 급수 표현

  • 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
  • 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.

\[ \begin{align} \tan x &= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\\ \cot x &= \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \end{align} \]


쌍곡함수의 급수표현

  • 쌍곡함수에 대해서도 유사한 결과를 얻는다

\[ \begin{align} \tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},& \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\\ \coth x &= \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!},& 0 < \left |x \right | < \pi \end{align} \]


로바체프스키함수


다이감마 함수



관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

  • B. Mazur, Bernoulli numbers and the unity of mathematics
  • Deeba, Elias Y., and Dennis M. Rodriguez. “Stirling’s Series and Bernoulli Numbers.” The American Mathematical Monthly 98, no. 5 (1991): 423–26. doi:10.2307/2323860.
  • Girstmair, Kurt. “A Theorem on the Numerators of the Bernoulli Numbers.” The American Mathematical Monthly 97, no. 2 (1990): 136–38. doi:10.2307/2323915. http://www.jstor.org/stable/2323915

관련논문

  • Anglès, Bruno, and Floric Tavares Ribeiro. “Exceptional Zeros of \(L\)-Series and Bernoulli-Carlitz Numbers.” arXiv:1511.06209 [math], November 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.06209.
  • Kaneko, Hajime, and Takao Komatsu. “Cauchy-Carlitz Numbers.” arXiv:1508.01858 [math], August 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01858.
  • Chapoton, Frédéric, and Jiang Zeng. “Carlitz Q-Bernoulli Numbers and Continued Fractions.” arXiv:1507.04123 [math], July 15, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.04123.
  • Dixit, Atul, M. Lawrence Glasser, Victor H. Moll, and Christophe Vignat. ‘The Zagier Polynomials. Part III: Asymptotics and Exact Formulas’. arXiv:1506.07612 [math], 25 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07612.
  • Bruner, Marie-Louise. ‘Central Binomial Coefficients Also Count (2431,4231,1432,4132)-Avoiders’. arXiv:1505.04929 Null, 19 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.04929.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'bernoulli'}, {'LEMMA': 'number'}]