"베르누이 수"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 05:44 기준 최신판

개요

베르누이 수는 수학의 많은 곳에서 마주치게 되는, 중요한 수열
- 정수에서의 리만제타함수의 값
- 거듭제곱의 합을 구하는 공식
베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.

\[\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\]

테이블

처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다

\[ \begin{array}{c|ccccccccccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510} \end{array} \]

베르누이 수의 성질

정리 (폰 슈타우트-클라우센)

정수 \(k\in 2\mathbb{Z}_{>0}\)에 대하여, 다음이 성립한다 \[B_{k} + \sum_{(p-1)|k} \frac{1}{p} \in \mathbb{Z}.\]

따름정리

베르누이 수 \(B_k=\frac{N_k}{D_k}\) (여기서 \(N_k, D_k\)은 서로소)의 분모 \(D_k\)는 \(p-1|k\) 을 만족하는 모든 소수 \(p\)의 곱으로 주어진다.

예

\(D_4=30 = 2 \times 3 \times 5\)
\(D_{10}= 66 = 2 \times 3 \times 11\)
\(D_{12}= 2730 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13\)
폰 슈타우트-클라우센 정리 항목 참조
베르누이 수에 대한 쿰머 합동식

멱급수와 베르누이 수

삼각함수의 급수 표현

사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.

\[ \begin{align} \tan x &= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\\ \cot x &= \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \end{align} \]

쌍곡함수의 급수표현

쌍곡함수에 대해서도 유사한 결과를 얻는다

\[ \begin{align} \tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},& \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\\ \coth x &= \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!},& 0 < \left |x \right | < \pi \end{align} \]

로바체프스키함수

로바체프스키와 클라우센 함수\[\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}\]

다이감마 함수

다이감마 함수(digamma function)\[\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}\]

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcnNqLXZYbmVMSkE/edit

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

B. Mazur, Bernoulli numbers and the unity of mathematics
Deeba, Elias Y., and Dennis M. Rodriguez. “Stirling’s Series and Bernoulli Numbers.” The American Mathematical Monthly 98, no. 5 (1991): 423–26. doi:10.2307/2323860.
Girstmair, Kurt. “A Theorem on the Numerators of the Bernoulli Numbers.” The American Mathematical Monthly 97, no. 2 (1990): 136–38. doi:10.2307/2323915. http://www.jstor.org/stable/2323915

메타데이터

위키데이터

ID : Q694114

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'bernoulli'}, {'LEMMA': 'number'}]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
-<h5>간단한 소개</h5>
+==개요==
-*  베르누이 수는 수학의 많은 곳에서 마주치게 되는, 중요한 수열[[2040024|]]<br>
+*  베르누이 수는 수학의 많은 곳에서 마주치게 되는, 중요한 수열
-** [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]
+** [[정수에서의 리만제타함수의 값]]
-** [[모든 자연수의 합과 리만제타함수|리만제타함수의 -1에서의 값]]
 ** [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
+* 베르누이 수의 [[생성함수]]는 다음과 같이 주어진다.
+:<math>\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math>
+===테이블===
+*  처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다
+:<math>
+\begin{array}{c|ccccccccccccccccc}
+ n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\
+\hline
+ B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510}
+\end{array}
+</math>
+==베르누이 수의 성질==
+;정리 (폰 슈타우트-클라우센)
-베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.
+정수 <math>k\in 2\mathbb{Z}_{>0}</math>에 대하여, 다음이 성립한다
+:<math>B_{k} + \sum_{(p-1)|k} \frac{1}{p} \in \mathbb{Z}.</math>
+;따름정리
+베르누이 수 <math>B_k=\frac{N_k}{D_k}</math> (여기서 <math>N_k, D_k</math>은 서로소)의 분모 <math>D_k</math>는 <math>p-1|k</math> 을 만족하는 모든 소수 <math>p</math>의 곱으로 주어진다.
-<math>\frac{t e^{t}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}</math>
+===예===
+* <math>D_4=30 = 2 \times 3 \times 5</math>
+* <math>D_{10}= 66 =  2 \times 3 \times 11</math>
+* <math>D_{12}= 2730 =  2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13</math>
-처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다.
+* [[폰 슈타우트-클라우센 정리]] 항목 참조
+* [[베르누이 수에 대한 쿰머 합동식]]
-<math>B_0=1</math>, <math>B_1=-{1 \over 2}</math>, <math>B_2={1\over 6}</math>, <math>B_3=0</math>, <math>B_4=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_5=0</math>, <math>B_6=\frac{1}{42}</math>, <math>B_8=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_{10}=\frac{5}{66}</math>, <math>B_{12}=-\frac{691}{2730}</math>,<math>B_{14}=\frac{7}{6}</math>
-{1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, 0, -691/2730, 0, 7/6, 0, -3617/510, 0, 43867/798, 0, -174611/330}
-<h5>베르누이 수의 성질</h5>
-* <math>B_m=\frac{N_m}{D_m}</math> (여기서 <math>N_m, D_m</math>은 서로소) 으로 쓰면 <math>D_m</math>은 <math>p-1|m</math> 을 만족하는 모든 소수 <math>p</math>의 곱으로 주어짐<br>
-** <math>D_4=30 = 2 \times 3 \times 5</math>
-** <math>D_{10}= 66 =  2 \times 3 \times 11</math>
-** <math>D_{12}= 2730 =  2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13</math>
-<h5>삼각함수의 급수 표현</h5>
+==멱급수와 베르누이 수==
+===삼각함수의 급수 표현===
 * 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
 * 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.
+:<math>
+\begin{align}
+\tan x &= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\\
+\cot x &= \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}
+\end{align}
+</math>
+===쌍곡함수의 급수표현===
+* 쌍곡함수에 대해서도 유사한 결과를 얻는다
-<math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>
+:<math>
+\begin{align}
-<math>\cot x  =  \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>
+\tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!},& \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\\
+\coth x &= \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!},& 0 < \left |x \right | < \pi
+\end{align}
+</math>
-<h5>쌍곡함수의 급수표현</h5>
-<math>\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}</math>
-<math>\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi</math>
-<h5>베르누이 다항식</h5>
-베르누이 수보다 좀 더 일반적으로, 베르누이 다항식의 생성함수는 다음과 같이 정의된다.
-<math>\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}</math>
-좀더 자세히 쓰면
-<math>B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}</math>
-여기서 <math>B_k</math> 는 베르누이 수
-처음 몇 베르누이 다항식은 다음과 같다.
-<math>B_0(x)=1</math>
+===로바체프스키함수===
-<math>B_1(x)=x-1/2</math>
+* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]:<math>\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}</math>
-<math>B_2(x)=x^2-x+1/6</math>
-<math>B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\</math>
+===다이감마 함수===
+* [[다이감마 함수(digamma function)]]:<math>\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}</math>
-<br>
-베르누이 다항식 <math>B_k (x) </math> 는 다음과 같은 성질을 가진다. (점화 관계)
+==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
-<math>\frac{d }{dt}B_k (x) = B_{k-1} (x)</math>
-<h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
 * [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
 * [[오일러-맥클로린 공식]]
-<h5>관련된 대학원 과목</h5>
-<h5>관련된 다른 주제들</h5>
+==관련된 항목들==
+* [[베르누이 수에 대한 쿰머 합동식]]
 * [[오일러수]]
+* [[정규소수 (regular prime)]]
+* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]
-<h5>표준적인 도서 및 추천도서</h5>
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcnNqLXZYbmVMSkE/edit
-* http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
-<h5>위키링크</h5>
+==사전 형태의 자료==
+* http://ko.wikipedia.org/wiki/
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_numbers
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials
-* http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_numbers
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function
-* http://en.wikipedia.org/wiki/
+==리뷰, 에세이, 강의노트==
+* B. Mazur, [http://www.math.wisc.edu/%7Eboston/Bernoulli.pdf Bernoulli numbers and the unity of mathematics]
+* Deeba, Elias Y., and Dennis M. Rodriguez. “Stirling’s Series and Bernoulli Numbers.” The American Mathematical Monthly 98, no. 5 (1991): 423–26. doi:10.2307/2323860.
+* Girstmair, Kurt. “A Theorem on the Numerators of the Bernoulli Numbers.” The American Mathematical Monthly 97, no. 2 (1990): 136–38. doi:10.2307/2323915. http://www.jstor.org/stable/2323915
+==관련논문==
+* Anglès, Bruno, and Floric Tavares Ribeiro. “Exceptional Zeros of <math>L</math>-Series and Bernoulli-Carlitz Numbers.” arXiv:1511.06209 [math], November 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.06209.
+* Kaneko, Hajime, and Takao Komatsu. “Cauchy-Carlitz Numbers.” arXiv:1508.01858 [math], August 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01858.
+* Chapoton, Frédéric, and Jiang Zeng. “Carlitz Q-Bernoulli Numbers and Continued Fractions.” arXiv:1507.04123 [math], July 15, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.04123.
+* Dixit, Atul, M. Lawrence Glasser, Victor H. Moll, and Christophe Vignat. ‘The Zagier Polynomials. Part III: Asymptotics and Exact Formulas’. arXiv:1506.07612 [math], 25 June 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07612.
+* Bruner, Marie-Louise. ‘Central Binomial Coefficients Also Count (2431,4231,1432,4132)-Avoiders’. arXiv:1505.04929 Null, 19 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.04929.
-<h5>참고할만한 자료</h5>
+[[분류:수열]]
+[[분류:목록]]
-* [http://www.jstor.org/stable/2323860 Stirling's Series and Bernoulli Numbers]<br>
+==메타데이터==
-** Elias Y. Deeba and Dennis M. Rodriguez, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 5 (May, 1991), pp. 423-426
+===위키데이터===
-* [http://www.jstor.org/stable/2323915 A Theorem on the Numerators of the Bernoulli Numbers]<br>
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q694114 Q694114]
-** Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 136-138
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'bernoulli'}, {'LEMMA': 'number'}]