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* 위상적으로는 국소적으로 유클리드 공간과 같으며, 그 위에 메트릭이 주어진 곡면의 기하학을 공부함. | * 위상적으로는 국소적으로 유클리드 공간과 같으며, 그 위에 메트릭이 주어진 곡면의 기하학을 공부함. | ||
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* 곡선 | * 곡선 | ||
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* 메트릭이 주어진 곡면<br> | * 메트릭이 주어진 곡면<br> | ||
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* 3차원 공간에 놓인 곡면 | * 3차원 공간에 놓인 곡면 | ||
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| − | ==사용되는 언어 | + | ==사용되는 언어== |
* 텐서 해석학 | * 텐서 해석학 | ||
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| − | ==매개화된 곡면 | + | ==매개화된 곡면== |
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| − | ==제1기본형식(first fundamental form)과 면적소 | + | ==제1기본형식(first fundamental form)과 면적소== |
* 곡면의 제1기본형식은 곡면 상에서 거리와 각도를 재는 방법에 해당한다 | * 곡면의 제1기본형식은 곡면 상에서 거리와 각도를 재는 방법에 해당한다 | ||
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* 정의된 접속형식으로부터 다음과 같이 크리스토펠 기호 <math>{\Gamma^k}_{ij}</math>, <math>i,j,k\in\{1,2\}</math>를 정의한다<br><math>\nabla_iX_j = {\Gamma^k}_{ij}X_k</math><br> | * 정의된 접속형식으로부터 다음과 같이 크리스토펠 기호 <math>{\Gamma^k}_{ij}</math>, <math>i,j,k\in\{1,2\}</math>를 정의한다<br><math>\nabla_iX_j = {\Gamma^k}_{ij}X_k</math><br> | ||
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* 곡선 <math>\alpha : I \to M</math> 를 따라 정의된 벡터장 <math>Y</math>에 대하여, 공변미분은 다음과 같이 정의됨<br><math>\frac{DY}{dt}=\nabla_{\alpha'(t)}Y</math><br> | * 곡선 <math>\alpha : I \to M</math> 를 따라 정의된 벡터장 <math>Y</math>에 대하여, 공변미분은 다음과 같이 정의됨<br><math>\frac{DY}{dt}=\nabla_{\alpha'(t)}Y</math><br> | ||
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* 곡면에 정의된 가우스곡률은 곡선의 곡률과 마찬가지로, 곡면에 수직인 정규벡터(normal vector)의 변화와 관련된 개념 | * 곡면에 정의된 가우스곡률은 곡선의 곡률과 마찬가지로, 곡면에 수직인 정규벡터(normal vector)의 변화와 관련된 개념 | ||
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* [http://math.uh.edu/%7Eminru/Riemann09/five1.pdf http://math.uh.edu/~minru/Riemann09/five1.pdf] | * [http://math.uh.edu/%7Eminru/Riemann09/five1.pdf http://math.uh.edu/~minru/Riemann09/five1.pdf] | ||
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* [[대수적위상수학|대수적 위상수학]]<br> | * [[대수적위상수학|대수적 위상수학]]<br> | ||
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* 미분다양체론(differentiable manifolds)<br> | * 미분다양체론(differentiable manifolds)<br> | ||
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/26/785 구면삼각형의 넓이에 대한 Girard-Harriot의 정리] | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/26/785 구면삼각형의 넓이에 대한 Girard-Harriot의 정리] | ||
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AF%B8%EB%B6%84%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99 http://ko.wikipedia.org/wiki/미분기하학] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AF%B8%EB%B6%84%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99 http://ko.wikipedia.org/wiki/미분기하학] | ||
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
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| − | ==표준적인 교과서 | + | ==표준적인 교과서== |
* do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. | * do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. | ||
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| − | ==추천도서 및 보조교재 | + | ==추천도서 및 보조교재== |
* [http://www.amazon.com/Gateway-Modern-Geometry-Poincare-Half-Plane/dp/0763753815/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1259658855&sr=1-1 Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)]<br> | * [http://www.amazon.com/Gateway-Modern-Geometry-Poincare-Half-Plane/dp/0763753815/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1259658855&sr=1-1 Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)]<br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 12:49 판
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개요
- 위상적으로는 국소적으로 유클리드 공간과 같으며, 그 위에 메트릭이 주어진 곡면의 기하학을 공부함.
- 비유클리드기하학을 이해하는 틀을 배우게 된다
- 미분형식을 이용하여 전개할 수도 있고, 미분형식의 언어를 사용하지 않고 크리스토펠 기호를 사용하여 전개할 수도 있다
-
선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들
다루는 대상
- 곡선
- 곡면
중요한 개념 및 정리
- 메트릭이 주어진 곡면
- 제1기본형식(first fundamental form)
- 접속(connection)
- 공변미분(covariant derivative)
- 측지선
- 평행이동
- 공변미분이 주어지면, 곡선을 따라 벡터를 평행이동할 수 있다
- 가우스 곡률
- 가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium)
- 가우스-보네 정리
곡면을 이해하는 두 가지 관점
- 3차원 공간에 놓인 곡면
- 3차원 공간을 생각하지 않고, 거리와 각도를 잴 수 있는 방식이 주어진 곡면
- 학부 미분기하학에서는 곡면에 대한 첫번째 관점에서 두번째 관점으로의 이동을 배우게 됨
사용되는 언어
- 텐서 해석학
- 미분형식
매개화된 곡면
- \(X(u,v)\)
- 벡터장
- \(X_1:=X_u\), \(X_2:=X_v\)
제1기본형식(first fundamental form)과 면적소
- 곡면의 제1기본형식은 곡면 상에서 거리와 각도를 재는 방법에 해당한다
- 곡면의 접평면마다 내적이 주어진 것으로 이해할 수 있다
- 메트릭 텐서(metric tensor)라고도 한다
- 제1기본형식
\(ds^2 =(X_u du+X_v dv)\cdot (X_u du+X_v dv)= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\)
- 면적소
\(dA=\sqrt{EG-F^2} \, du\, dv\)
- 3차원의 곡면에 대해서는 다음과 같이 계산할 수 있다
\(g_{ij} : = X_i \cdot X_j\)
\(E=g_{11}\), \(F=g_{12}=g_{21}\), \(G=g_{22}\)
\(ds^2 =(X_u du+X_v dv)\cdot (X_u du+X_v dv)= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\)
접속(connection)
- 방향미분의 일반화
- 벡터장 \({\mathbf v}\)와 벡터장 \( {\mathbf Y}\)에 대해서 정의되며, 벡터장 \(\nabla_{\mathbf v} {\mathbf Y}\) 을 얻는다
- 다음 성질을 가진다
\(\begin{align}&\nabla_X(Y_1 + Y_2) = \nabla_XY_1 + \nabla_XY_2\\ &\nabla_{X_1 + X_2}Y = \nabla_{X_1}Y + \nabla_{X_2}Y\\ &\nabla_{X}(fY) = f\nabla_XY + X(f)Y\\ &\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY\end{align}\)
- 적당한 1-form \(A_{ij}\)에 대하여, 다음과 같이 표현할수 있다
\(\nabla X_i = \sum_{j=1}^{2} A_{ij}\otimes X_j= A_{i}^{j}\otimes X_j\)
\(A_{ij}= A_{i}^{j}\) 로 두었다
- 여기서 1-form \(A_{ij}\)는 벡터장 \({\mathbf v}\)에 대하여 다음을 만족시킴
\(\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \sum_{j=1}^{2} A_{ij}({\mathbf v}) X_j\)
- 이때의 \(A=(A_{ij})\) 를 접속 1형식(1-form)이라고 부른다
- \(F=dA+A\wedge A\) 는 곡률 2형식(2-form) 이라 부른다
- 3차원의 매개화된 곡면의 경우, 접속은 벡터장의 방향미분을 취한뒤, 곡면에 수직한 성분을 빼주는 것으로 얻어진다
- 접속(connection) 항목 참조
크리스토펠 기호
- 정의된 접속형식으로부터 다음과 같이 크리스토펠 기호 \({\Gamma^k}_{ij}\), \(i,j,k\in\{1,2\}\)를 정의한다
\(\nabla_iX_j = {\Gamma^k}_{ij}X_k\)
- 접속형식 \(A=(A_{ij})\)을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다
\(\nabla_i X_j = A_{j}^{k}(X_i) X_k\)
즉 \( A_{jk}(X_i)={\Gamma^k}_{ij}\)
- 3차원 상의 매개화된 곡면의 경우에는 다음과 같이 얻어진다(아래의 *는 곡면에 수직한 성분을 뜻함)
\(X_{uu}=\Gamma^1_{11}X_u+\Gamma^2_{11}X_v+(*)\)
\(X_{uv}=\Gamma^1_{12}X_u+\Gamma^2_{12}X_v+(*)\)
\(X_{vu}=\Gamma^1_{21}X_u+\Gamma^2_{21}X_v+(*)\)
\(X_{vv}=\Gamma^1_{22}X_u+\Gamma^2_{22}X_v+(*)\)
- 제1기본형식을 이용한 표현
- 크리스토펠 기호 항목 참조
공변미분(covariant derivative), 평행이동, 측지선
- 곡선 \(\alpha : I \to M\) 를 따라 정의된 벡터장 \(Y\)에 대하여, 공변미분은 다음과 같이 정의됨
\(\frac{DY}{dt}=\nabla_{\alpha'(t)}Y\)
- 곡선 \(\alpha : I \to M\) 를 따라 정의된 벡터장 \(Y\)에 대하여, 공변미분이 0이 되는 경우, 즉 \(\nabla_{\alpha'(t)}Y=0\) 인 경우, 벡터장 \(Y\)는 곡선 \(\alpha\)를 따라 평행하다고 한다
- 곡선 \(\alpha : I \to M\)가 \(\nabla_{\alpha'(t)}\alpha'(t)=0\)를 만족시키는 경우, 곡선 \(\alpha\)를 이 곡면의 측지선이라 부른다
- coordinate chart 에서 \(\alpha(t)=(\alpha_1(t),\alpha_2(t))\) 로 표현되는 경우, 크리스토펠 기호를 쓰면 측지선은 다음 미분방정식을 만족시킨다
\(\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0\)
- 측지선
가우스곡률과 가우스의 정리
- 곡면에 정의된 가우스곡률은 곡선의 곡률과 마찬가지로, 곡면에 수직인 정규벡터(normal vector)의 변화와 관련된 개념
- 가우스의 정리는 이러한 곡률을 곡면의 제1기본형식을 통해서 표현할 수 있음을 말해준다
- 가우스곡률은 \(F=0\)인 제1기본형식에 대하여, 다음과 같이 주어진다
\(K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)\)
- 곡률의 개념이 곡면이 3차원에 놓인 상태와는 무관하며, 곡면에서 측량할 수 있다는 사실을 말해줌
- 가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium) 항목 참조
- 가우스곡률
곡면의 예
- 유클리드평면, 구면(sphere), 푸앵카레 상반평면 세가지 상수 곡률 곡면
- 이들 곡면은 각각 유클리드기하학, 구면기하학, 쌍곡기하학의 모델
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=pseudosphere
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=sphere
역사
메모
다른 과목과의 관련성
- 대수적 위상수학
- 오일러의 정리 V-E+F = 2-2g
- g = 곡면의 종수(genus), 쉽게 말하면 구멍의 개수. 구면은 g=0, 도넛모양은 g=1
- 가우스-보네 정리를 이해하는데 필수적인 개념
- 복소함수론
- 단위원 또는 푸앵카레 상반평면 모델의 group of conformal automorphisms = group of isometries
- Uniformization theorem
- 추상대수학
- 군론 - discrete subgroups of isometry group
- 클라인의 에를랑겐 프로그램(Erlangen Program)
- 미분형식 (differential forms)과 multilinear algebra
- 다변수미적분학과 미분기하학을 고차원의 다양체로 확장하기 위해 필요한 언어
관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들
- 미분다양체론(differentiable manifolds)
- 다양체란 1차원 공간인 곡선, 2차원 공간인 곡면을 일반화한 n차원의 공간
- 미분다양체는 미적분학을 할 수 있는 다양체를 뜻함
- 리만기하학(Riemannian geometry)
- 곡면에 메트릭을 주는 것을 일반화하여 메트릭이 주어진 미분다양체를 공부함
- 리군과 Symmetric spaces의 분류
유명한 정리 혹은 재미있는 문제
관련된 항목들
수학용어번역==
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/미분기하학
- http://en.wikipedia.org/wiki/differential_geometry
- http://en.wikipedia.org/wiki/First_fundamental_form
- http://en.wikipedia.org/wiki/Second_fundamental_form
- http://en.wikipedia.org/wiki/Christoffel_symbols
- http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative
- http://mathworld.wolfram.com/ChristoffelSymboloftheSecondKind.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
관련논문
- Geometry and the Foucault Pendulum
- John Oprea, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 515-522
- Kleinian Transformation Geometry
- Richard S. Millman, The American Mathematical Monthly, Vol. 84, No. 5 (May, 1977), pp. 338-349
- The Geometry of Connections
- R. S. Millman and Ann K. Stehney, The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 5 (May, 1973), pp. 475-500
- From Triangles to Manifolds
- Shing-Shen Chern, The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 5 (May, 1979), pp. 339-349
- How Hyperbolic Geometry Became Respectable
- Abe Shenitzer, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 5 (May, 1994), pp. 464-470
표준적인 교과서
- do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces.
추천도서 및 보조교재
- Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)
- S. Stahl, Jones & Bartlett Publishers; 2 edition (November 25, 2007)
- Geometry of Surfaces
- John Stillwell
- The Shape of Space
- Jeffrey R. Weeks
- 일반 독자를 위한 책
- 제1기본형식(first fundamental form)
- 공변미분이 주어지면, 곡선을 따라 벡터를 평행이동할 수 있다
\(ds^2 =(X_u du+X_v dv)\cdot (X_u du+X_v dv)= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\)
\(dA=\sqrt{EG-F^2} \, du\, dv\)
\(g_{ij} : = X_i \cdot X_j\)
\(E=g_{11}\), \(F=g_{12}=g_{21}\), \(G=g_{22}\)
\(ds^2 =(X_u du+X_v dv)\cdot (X_u du+X_v dv)= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\)
\(\begin{align}&\nabla_X(Y_1 + Y_2) = \nabla_XY_1 + \nabla_XY_2\\ &\nabla_{X_1 + X_2}Y = \nabla_{X_1}Y + \nabla_{X_2}Y\\ &\nabla_{X}(fY) = f\nabla_XY + X(f)Y\\ &\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY\end{align}\)
\(\nabla X_i = \sum_{j=1}^{2} A_{ij}\otimes X_j= A_{i}^{j}\otimes X_j\)
\(A_{ij}= A_{i}^{j}\) 로 두었다
\(\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \sum_{j=1}^{2} A_{ij}({\mathbf v}) X_j\)
\(\nabla_iX_j = {\Gamma^k}_{ij}X_k\)
\(\nabla_i X_j = A_{j}^{k}(X_i) X_k\)
즉 \( A_{jk}(X_i)={\Gamma^k}_{ij}\)
\(X_{uu}=\Gamma^1_{11}X_u+\Gamma^2_{11}X_v+(*)\)
\(X_{uv}=\Gamma^1_{12}X_u+\Gamma^2_{12}X_v+(*)\)
\(X_{vu}=\Gamma^1_{21}X_u+\Gamma^2_{21}X_v+(*)\)
\(X_{vv}=\Gamma^1_{22}X_u+\Gamma^2_{22}X_v+(*)\)
\(\frac{DY}{dt}=\nabla_{\alpha'(t)}Y\)
\(\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0\)
\(K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)\)
- 이들 곡면은 각각 유클리드기하학, 구면기하학, 쌍곡기하학의 모델
- 오일러의 정리 V-E+F = 2-2g
- g = 곡면의 종수(genus), 쉽게 말하면 구멍의 개수. 구면은 g=0, 도넛모양은 g=1
- 가우스-보네 정리를 이해하는데 필수적인 개념
- 단위원 또는 푸앵카레 상반평면 모델의 group of conformal automorphisms = group of isometries
- Uniformization theorem
- 군론 - discrete subgroups of isometry group
- 클라인의 에를랑겐 프로그램(Erlangen Program)
- 다변수미적분학과 미분기하학을 고차원의 다양체로 확장하기 위해 필요한 언어
- 다양체란 1차원 공간인 곡선, 2차원 공간인 곡면을 일반화한 n차원의 공간
- 미분다양체는 미적분학을 할 수 있는 다양체를 뜻함
- 곡면에 메트릭을 주는 것을 일반화하여 메트릭이 주어진 미분다양체를 공부함
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/미분기하학
- http://en.wikipedia.org/wiki/differential_geometry
- http://en.wikipedia.org/wiki/First_fundamental_form
- http://en.wikipedia.org/wiki/Second_fundamental_form
- http://en.wikipedia.org/wiki/Christoffel_symbols
- http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative
- http://mathworld.wolfram.com/ChristoffelSymboloftheSecondKind.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
관련논문
- Geometry and the Foucault Pendulum
- John Oprea, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 515-522
- Kleinian Transformation Geometry
- Richard S. Millman, The American Mathematical Monthly, Vol. 84, No. 5 (May, 1977), pp. 338-349
- The Geometry of Connections
- R. S. Millman and Ann K. Stehney, The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 5 (May, 1973), pp. 475-500
- From Triangles to Manifolds
- Shing-Shen Chern, The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 5 (May, 1979), pp. 339-349
- How Hyperbolic Geometry Became Respectable
- Abe Shenitzer, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 5 (May, 1994), pp. 464-470
표준적인 교과서
- do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces.
추천도서 및 보조교재
- Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)
- S. Stahl, Jones & Bartlett Publishers; 2 edition (November 25, 2007)
- S. Stahl, Jones & Bartlett Publishers; 2 edition (November 25, 2007)
- Geometry of Surfaces
- John Stillwell
- The Shape of Space
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