미분기하학

개요

• 위상적으로는 국소적으로 유클리드 공간과 같으며, 그 위에 메트릭이 주어진 곡면의 기하학을 공부함.
• 비유클리드기하학을 이해하는 틀을 배우게 된다
• 미분형식을 이용하여 전개할 수도 있고, 미분형식의 언어를 사용하지 않고 크리스토펠 기호를 사용하여 전개할 수도 있다

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 다변수미적분학
  • 매개화된 곡면
• 상미분방정식
• 기초적인 편미분방정식
• 선형대수학
  • 내적공간
  • 대칭행렬의 대각화

다루는 대상

• 곡선
• 곡면

중요한 개념 및 정리

• 메트릭이 주어진 곡면
  • 제1기본형식(first fundamental form)
• 접속(connection)
• 공변미분(covariant derivative)
• 측지선
• 평행이동
  • 공변미분이 주어지면, 곡선을 따라 벡터를 평행이동할 수 있다
• 가우스 곡률
• 가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium)
• 가우스-보네 정리

곡면을 이해하는 두 가지 관점

• 3차원 공간에 놓인 곡면
• 3차원 공간을 생각하지 않고, 거리와 각도를 잴 수 있는 방식이 주어진 곡면
• 학부 미분기하학에서는 곡면에 대한 첫번째 관점에서 두번째 관점으로의 이동을 배우게 됨

사용되는 언어

• 텐서 해석학
• 미분형식

매개화된 곡면

• \(X(u,v)\)
• 벡터장
• \(X_1:=X_u\), \(X_2:=X_v\)

제1기본형식(first fundamental form)과 면적소

• 곡면의 제1기본형식은 곡면 상에서 거리와 각도를 재는 방법에 해당한다
• 곡면의 접평면마다 내적이 주어진 것으로 이해할 수 있다
• 메트릭 텐서(metric tensor)라고도 한다
• 제1기본형식\[ds^2 =(X_u du+X_v dv)\cdot (X_u du+X_v dv)= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\]
• 면적소\[dA=\sqrt{EG-F^2} \, du\, dv\]
• 3차원의 곡면에 대해서는 다음과 같이 계산할 수 있다\[g_{ij} : = X_i \cdot X_j\]\[E=g_{11}\], \(F=g_{12}=g_{21}\), \(G=g_{22}\)\[ds^2 =(X_u du+X_v dv)\cdot (X_u du+X_v dv)= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\]

접속(connection)

• 방향미분의 일반화
• 벡터장 \({\mathbf v}\)와 벡터장 \( {\mathbf Y}\)에 대해서 정의되며, 벡터장 \(\nabla_{\mathbf v} {\mathbf Y}\) 을 얻는다
• 다음 성질을 가진다\[\begin{align}&\nabla_X(Y_1 + Y_2) = \nabla_XY_1 + \nabla_XY_2\\ &\nabla_{X_1 + X_2}Y = \nabla_{X_1}Y + \nabla_{X_2}Y\\ &\nabla_{X}(fY) = f\nabla_XY + X(f)Y\\ &\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY\end{align}\]
• 적당한 1-form \(A_{ij}\)에 대하여, 다음과 같이 표현할수 있다\[\nabla X_i = \sum_{j=1}^{2} A_{ij}\otimes X_j= A_{i}^{j}\otimes X_j\]\[A_{ij}= A_{i}^{j}\] 로 두었다
• 여기서 1-form \(A_{ij}\)는 벡터장 \({\mathbf v}\)에 대하여 다음을 만족시킴\[\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \sum_{j=1}^{2} A_{ij}({\mathbf v}) X_j\]
• 이때의 \(A=(A_{ij})\) 를 접속 1형식(1-form)이라고 부른다
• \(F=dA+A\wedge A\) 는 곡률 2형식(2-form) 이라 부른다
• 3차원의 매개화된 곡면의 경우, 접속은 벡터장의 방향미분을 취한뒤, 곡면에 수직한 성분을 빼주는 것으로 얻어진다
• 접속(connection) 항목 참조

크리스토펠 기호

• 정의된 접속형식으로부터 다음과 같이 크리스토펠 기호 \({\Gamma^k}_{ij}\), \(i,j,k\in\{1,2\}\)를 정의한다\[\nabla_iX_j = {\Gamma^k}_{ij}X_k\]
• 접속형식 \(A=(A_{ij})\)을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다\[\nabla_i X_j = A_{j}^{k}(X_i) X_k\] 즉 \( A_{jk}(X_i)={\Gamma^k}_{ij}\)
• 3차원 상의 매개화된 곡면의 경우에는 다음과 같이 얻어진다(아래의 *는 곡면에 수직한 성분을 뜻함)\[X_{uu}=\Gamma^1_{11}X_u+\Gamma^2_{11}X_v+(*)\]\[X_{uv}=\Gamma^1_{12}X_u+\Gamma^2_{12}X_v+(*)\]\[X_{vu}=\Gamma^1_{21}X_u+\Gamma^2_{21}X_v+(*)\]\[X_{vv}=\Gamma^1_{22}X_u+\Gamma^2_{22}X_v+(*)\]
• 제1기본형식을 이용한 표현
• 크리스토펠 기호 항목 참조

공변미분(covariant derivative), 평행이동, 측지선

• 곡선 \(\alpha : I \to M\) 를 따라 정의된 벡터장 \(Y\)에 대하여, 공변미분은 다음과 같이 정의됨\[\frac{DY}{dt}=\nabla_{\alpha'(t)}Y\]
• 곡선 \(\alpha : I \to M\) 를 따라 정의된 벡터장 \(Y\)에 대하여, 공변미분이 0이 되는 경우, 즉 \(\nabla_{\alpha'(t)}Y=0\) 인 경우, 벡터장 \(Y\)는 곡선 \(\alpha\)를 따라 평행하다고 한다
• 곡선 \(\alpha : I \to M\)가 \(\nabla_{\alpha'(t)}\alpha'(t)=0\)를 만족시키는 경우, 곡선 \(\alpha\)를 이 곡면의 측지선이라 부른다
• coordinate chart 에서 \(\alpha(t)=(\alpha_1(t),\alpha_2(t))\) 로 표현되는 경우, 크리스토펠 기호를 쓰면 측지선은 다음 미분방정식을 만족시킨다\[\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0\]
• 측지선

가우스곡률과 가우스의 정리

• 곡면에 정의된 가우스곡률은 곡선의 곡률과 마찬가지로, 곡면에 수직인 정규벡터(normal vector)의 변화와 관련된 개념
• 가우스의 정리는 이러한 곡률을 곡면의 제1기본형식을 통해서 표현할 수 있음을 말해준다
• 가우스곡률은 \(F=0\)인 제1기본형식에 대하여, 다음과 같이 주어진다\[K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)\]
• 곡률의 개념이 곡면이 3차원에 놓인 상태와는 무관하며, 곡면에서 측량할 수 있다는 사실을 말해줌
• 가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium) 항목 참조
• 가우스곡률

곡면의 예

• 유클리드평면, 구면(sphere), 푸앵카레 상반평면 세가지 상수 곡률 곡면
  • 이들 곡면은 각각 유클리드기하학, 구면기하학, 쌍곡기하학의 모델
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=pseudosphere
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=sphere

역사

• 수학사 연표
• 1829 - 볼리아이, 가우스, 로바체프스키가 쌍곡기하학을 발견
• 1854 - 리만이 리만기하학을 소개

메모

• http://math.uh.edu/~minru/Riemann09/five1.pdf

다른 과목과의 관련성

• 대수적 위상수학
  • 오일러의 정리 V-E+F = 2-2g
    • g = 곡면의 종수(genus), 쉽게 말하면 구멍의 개수. 구면은 g=0, 도넛모양은 g=1
    • 가우스-보네 정리를 이해하는데 필수적인 개념
• 복소함수론
  • 단위원 또는 푸앵카레 상반평면 모델의 group of conformal automorphisms = group of isometries
  • Uniformization theorem
• 추상대수학
  • 군론 - discrete subgroups of isometry group
  • 클라인의 에를랑겐 프로그램(Erlangen Program)
• 미분형식 (differential forms)과 multilinear algebra
  • 다변수미적분학과 미분기하학을 고차원의 다양체로 확장하기 위해 필요한 언어

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• 미분다양체론(differentiable manifolds)
  • 다양체란 1차원 공간인 곡선, 2차원 공간인 곡면을 일반화한 n차원의 공간
  • 미분다양체는 미적분학을 할 수 있는 다양체를 뜻함
• 리만기하학(Riemannian geometry)
  • 곡면에 메트릭을 주는 것을 일반화하여 메트릭이 주어진 미분다양체를 공부함
• 리군과 Symmetric spaces의 분류

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

• 구면삼각형의 넓이에 대한 Girard-Harriot의 정리

관련된 항목들

• 구면기하학
• 쌍곡기하학

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/미분기하학
• http://en.wikipedia.org/wiki/differential_geometry
• http://en.wikipedia.org/wiki/First_fundamental_form
• http://en.wikipedia.org/wiki/Second_fundamental_form
• http://en.wikipedia.org/wiki/Christoffel_symbols
• http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative
• http://mathworld.wolfram.com/ChristoffelSymboloftheSecondKind.html

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=

• Geometry and the Foucault Pendulum
  • John Oprea, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 515-522
• Kleinian Transformation Geometry
  • Richard S. Millman, The American Mathematical Monthly, Vol. 84, No. 5 (May, 1977), pp. 338-349
• The Geometry of Connections
  • R. S. Millman and Ann K. Stehney, The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 5 (May, 1973), pp. 475-500
• From Triangles to Manifolds
  • Shing-Shen Chern, The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 5 (May, 1979), pp. 339-349
• How Hyperbolic Geometry Became Respectable
  • Abe Shenitzer, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 5 (May, 1994), pp. 464-470

표준적인 교과서

• do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces.

추천도서 및 보조교재

• Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)
  • S. Stahl, Jones & Bartlett Publishers; 2 edition (November 25, 2007)
• Geometry of Surfaces
  • John Stillwell
• The Shape of Space
  • Jeffrey R. Weeks
  • 일반 독자를 위한 책