"L-함수, 제타 함수와 디리클레 급수"의 두 판 사이의 차이
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> |
* [[L-함수, 제타함수와 디리클레 급수]] | * [[L-함수, 제타함수와 디리클레 급수]] | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">개요</h5> |
* [[리만제타함수]]의 일반화<br> | * [[리만제타함수]]의 일반화<br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="MARGIN: 0px; LINE-HEIGHT: 2em;">정의</h5> |
* 복소수열 <math>\{a_n\}</math>에 대하여 디리클레 급수를 복소함수로서 다음과 같이 정의<br><math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}</math><br> | * 복소수열 <math>\{a_n\}</math>에 대하여 디리클레 급수를 복소함수로서 다음과 같이 정의<br><math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}</math><br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="MARGIN: 0px; LINE-HEIGHT: 2em;">리만제타함수</h5> |
| − | * [[리만제타함수]] 항목 참조<br><math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math>, | + | * [[리만제타함수]] 항목 참조<br><math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math>, 1" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5Cmathfrak%7BR%7D%28s%29%3E1"><br> |
| − | <h5 style=" | + | <h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">디리클레 L-함수</h5> |
| − | * 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의함.<br><math>L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}</math> , | + | * 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의함.<br><math>L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}</math> , 1" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5Cmathfrak%7BR%7D%28s%29%3E1"><br> |
* [[디리클레 L-함수]] 항목 참조<br> | * [[디리클레 L-함수]] 항목 참조<br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="MARGIN: 0px; LINE-HEIGHT: 2em;">데데킨트 제타함수</h5> |
* 수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨<br><math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}</math><br> 여기서 <math>a_{n}</math>은 <math>N(\mathfrak{a})=n</math>을 만족시키는 integral ideal의 개수<br> | * 수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨<br><math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}</math><br> 여기서 <math>a_{n}</math>은 <math>N(\mathfrak{a})=n</math>을 만족시키는 integral ideal의 개수<br> | ||
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* 타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, 다음과 같이 정의됨<br><math>L(s,E)=\prod_pL_p(s,E)^{-1}</math><br> 여기서 <br><math>L_p(s,E)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_pp^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right</math><br> | * 타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, 다음과 같이 정의됨<br><math>L(s,E)=\prod_pL_p(s,E)^{-1}</math><br> 여기서 <br><math>L_p(s,E)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_pp^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right</math><br> | ||
* 여기서 <math>a_p</math>는 유한체위에서의 해의 개수와 관련된 정수 | * 여기서 <math>a_p</math>는 유한체위에서의 해의 개수와 관련된 정수 | ||
| − | * | + | * [[Birch and Swinnerton-Dyer 추측]] 항목 참조 |
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="MARGIN: 0px; LINE-HEIGHT: 2em;">대수적다양체와 제타함수</h5> |
* [[대수적다양체의 제타함수]]<br><math>Z_p(T)=\exp(\sum_{r=1}^{\infty}N_r\frac{T^r}{r})</math><br> | * [[대수적다양체의 제타함수]]<br><math>Z_p(T)=\exp(\sum_{r=1}^{\infty}N_r\frac{T^r}{r})</math><br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">재미있는 사실</h5> |
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">역사</h5> |
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="MARGIN: 0px; LINE-HEIGHT: 2em;">메모</h5> |
* http://wain.mi.ras.ru/zw/<br> | * http://wain.mi.ras.ru/zw/<br> | ||
| + | * Commensurability classes and volumes of hyperbolic 3-manifolds<br> | ||
| + | ** A Borel - Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.(4), 1981 | ||
| + | |||
| + | * [http://www.springerlink.com/content/v36272439g3g5006/ Hyperbolic manifolds and special values of Dedekind zeta-functions]<br> | ||
| + | ** Don Zagier, Inventiones Mathematicae, Volume 83, Number 2 / 1986년 6월 | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">관련된 항목들</h5> |
* [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)|적분쇼]]<br> | * [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)|적분쇼]]<br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">수학용어번역</h5> |
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">사전 형태의 자료</h5> |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="MARGIN: 0px; LINE-HEIGHT: 2em;">관련링크와 웹페이지</h5> |
* [http://l-functions.org/MyStartingPage The Modular Forms and L-functions Database Project]<br> | * [http://l-functions.org/MyStartingPage The Modular Forms and L-functions Database Project]<br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">관련논문</h5> |
* [http://arxiv.org/abs/math.NT/0207280 Computing special values of motivic L-functions]<br> | * [http://arxiv.org/abs/math.NT/0207280 Computing special values of motivic L-functions]<br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">관련도서 및 추천도서</h5> |
* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">관련기사</h5> |
* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
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| − | <h5 style=" | + | <h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">블로그</h5> |
* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q= | * 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q= | ||
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학] | * [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학] | ||
2010년 6월 20일 (일) 21:59 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 리만제타함수의 일반화
- 디리클레 L-함수는 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리를 증명하는데 사용됨
- 디리클레 class number 공식, Birch and Swinnerton-Dyer 추측 등 정수론의 중요한 주제
- 수체(number field)에 대해 정의되는 데데킨트 제타함수
정의
- 복소수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 디리클레 급수를 복소함수로서 다음과 같이 정의
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}\) - 예
- 중요한 디리클레 급수의 경우 다음과 같은 성질을 만족시킴
- 해석적확장(analytic continuation)
- 함수방정식
- 오일러곱
- 해석적확장(analytic continuation)
- 중요한 문제들
- 해석적확장의 개념적 이해
- 정수에서의 special values
- \(s=1\)에서의 유수
- \(L'(1)\) 의 값 (Birch and Swinnerton-Dyer 추측)
- 일반화된 리만가설
- 해석적확장의 개념적 이해
리만제타함수
- 리만제타함수 항목 참조
\(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\), 1" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5Cmathfrak%7BR%7D%28s%29%3E1">
디리클레 L-함수
- 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의함.
\(L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}\) , 1" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5Cmathfrak%7BR%7D%28s%29%3E1"> - 디리클레 L-함수 항목 참조
데데킨트 제타함수
- 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
\(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\)
여기서 \(a_{n}\)은 \(N(\mathfrak{a})=n\)을 만족시키는 integral ideal의 개수
Hecke L-함수
타원곡선의 L-함수
- 타원곡선 항목에서 가져옴
- Hasse-Weil 제타함수라고도 함
- 타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, 다음과 같이 정의됨
\(L(s,E)=\prod_pL_p(s,E)^{-1}\)
여기서
\(L_p(s,E)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_pp^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right\) - 여기서 \(a_p\)는 유한체위에서의 해의 개수와 관련된 정수
- Birch and Swinnerton-Dyer 추측 항목 참조
모듈라 형식의 L-함수
- 모듈라 형식(modular forms) f에 대응되는 L-함수
\(f(\tau) = \sum_{n=0}^\infty a_n e^{2i\pi n\tau}\)
\(L(s,f)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\)
아틴 L-함수
대수적다양체와 제타함수
- 대수적다양체의 제타함수
\(Z_p(T)=\exp(\sum_{r=1}^{\infty}N_r\frac{T^r}{r})\)
재미있는 사실
역사
메모
- http://wain.mi.ras.ru/zw/
- Commensurability classes and volumes of hyperbolic 3-manifolds
- A Borel - Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.(4), 1981
- Hyperbolic manifolds and special values of Dedekind zeta-functions
- Don Zagier, Inventiones Mathematicae, Volume 83, Number 2 / 1986년 6월
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관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_series
- http://en.wikipedia.org/wiki/General_Dirichlet_series
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hecke_character
- http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Riemann_hypothesis
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
관련링크와 웹페이지
관련논문
- Computing special values of motivic L-functions
- Tim Dokchitser, 30 Jul 2002
- Mahler's measure and special values of L-functions
- [1]David W. Boyd, Experiment. Math. Volume 7, Issue 1 (1998), 37-82
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
관련도서 및 추천도서
- 도서내검색
- 도서검색
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)