L-함수, 제타 함수와 디리클레 급수

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 1월 12일 (화) 09:36 판
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간단한 소개

 

 

정의
  • 복소수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 디리클레 급수를 복소함수로서 다음과 같이 정의
    \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}\)
  • 예
  • 중요한 디리클레 급수의 경우 다음과 같은 성질을 만족시킴
  • 중요한 문제들
    • 해석적확장의 개념적 이해
    • 정수에서의 special values
    • \(s=1\)에서의 유수
    • \(L'(1)\) 의 값
    • 일반화된 리만가설

 

 

리만제타함수
  • 리만제타함수 항목 참조
    \(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\), \(\mathfrak{R}(s)>1\)

 

디리클레 L-함수
  • 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의함.
    \(L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}\) , \(\mathfrak{R}(s)>1\)
  • 디리클레 L-함수 에서 자세히 다룸

 

 

 

데데킨트 제타함수
  • 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
    \(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\)
    여기서 \(a_{n}\)은 \(N(\mathfrak{a})=n\)을 만족시키는 integral ideal의 개수

 

 

Hecke L-함수

 

 

타원곡선의 L-함수
  • Hasse-Weil 제타함수라고도 함
  • 타원 곡선의 conductor가 N일 때, 다음과 같이 정의됨
    \(L(s,E)=\prod_pL_p(s,E)^{-1}\)
    여기서 
    \(L_p(s,E)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_pp^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right\)
  • 여기서 \(a_p\)는 유한체위에서의 해의 개수와 관련된 정수
  • 타원곡선 항목 참조

 

 

모듈라 형식의 디리클레급수
  •  

 

 

아틴 L-함수

 

 

대수적다양체와 제타함수

 

 

 

재미있는 사실

 

 

역사

 

 

 

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