"등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리"의 두 판 사이의 차이

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* [[10k+1 꼴의 소수는 무한히 많다]] 와 같은 정리의 일반화
 
* [[10k+1 꼴의 소수는 무한히 많다]] 와 같은 정리의 일반화
  
(정리) 디리클레, 1837
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;정리 (디리클레, 1837)
  
 
자연수 a, b 가 서로 소이면 등차수열 {an+b} (n=0,1,2,⋯) 는 무한히 많은 소수를 포함한다
 
자연수 a, b 가 서로 소이면 등차수열 {an+b} (n=0,1,2,⋯) 는 무한히 많은 소수를 포함한다
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==증명의 재료==
 
 
* [[푸리에 해석]](군표현론) 과  의 아이디어를 결합시킴.
 
 
 
 
 
 
==증명의 아이디어 소개==
 
 
<math>\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty</math> 임은 이미 [[소수와 리만제타함수]] 를 통해 알고 있음.
 
 
이 사실은 소수가 무한히 많음을 말해줌.
 
 
이 아이디어와 군표현론의 아이디어를 결합.
 
 
준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 는 두 가지 경우가 가능.
 
 
<math>\chi_0(3)=1</math> 인 경우
 
 
<math>\chi_1(3)=-1</math> 인 경우
 
 
 
  
자연수 위에 정의된 함수 <math>f</math> 가 있어, 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
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==증명==
  
<math>f(n)  = 1 \mbox{ if } n\equiv 3 \pmod{4} </math>
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* [[푸리에 해석]]과 [[순환군과 유한아벨군의 표현론|순환군의 표현론]]의 아이디어를 결합시킴.
  
<math>f(n)  = 0 \mbox{ if }  n\equiv 0,1,2 \pmod{4}</math>
 
  
<math>f(n) ={\chi_0(n) - \chi_1(n) \over 2}</math> 로 쓸 수 있다.
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===증명의 아이디어===
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소수의 역수의 합이 발산하는 것은 이미 [[소수와 리만제타함수]] 를 통해 알고 있다.
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:<math>\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty</math>
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이 사실은 소수가 무한히 많음을 말해준다. 디리클레 정리는 이러한 해석학적 아이디어와 군표현론의 아이디어를 결합하여 얻어진다.
  
<math>\sum_{p \text{:prime } \equiv 3 \pmod 4\frac{1}{p} = \sum_{p \text{:prime}} \frac{f(p)}{p}={1\over 2 }\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p) - \chi_1(p)}{p} \approx {1\over 2 }(\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p)}{p} - \sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_1(p)}{p})</math>
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예를 들어, 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math> 는 두 가지 경우가 가능하다
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* <math>\chi_0(3)=1</math> 인 경우
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* <math>\chi_1(3)=-1</math> 인 경우
  
우변의 첫번째 항은 <math>1 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty</math> 에 의해 발산함을 안다.
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자연수 집합을 정의역으로 갖는 함수 <math>f</math>를 다음과 같이 정의하자
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:<math>f(n)  = 
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\begin{cases}
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1\mbox{ if } n\equiv 3 \pmod{4} \\
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0 \mbox{ if } n\equiv 0,1,2 \pmod{4}
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\end{cases}</math>
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이는 <math>f(n) ={\chi_0(n) - \chi_1(n) \over 2}</math>  로 쓸 수 있다.
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따라서,  
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:<math>\sum_{p \text{:prime } \equiv 3 \pmod 4}  \frac{1}{p} = \sum_{p \text{:prime}} \frac{f(p)}{p}={1\over 2 }\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p) - \chi_1(p)}{p} \approx {1\over 2 }(\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p)}{p} - \sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_1(p)}{p})</math>
  
우변의 두번째 항은 <math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math>에 의해 수렴함을 안다. 이는 [[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]],
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우변의 첫번째 항은 다음에 의해 발산함을 안다.
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:<math>
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1 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty
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</math>
  
따라서 4로 나누어 나머지가 3이 되는 소수가 무한함을 알 수 있음
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우변의 두번째 항은 다음에 의해 수렴함을 안다.
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:<math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math>
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이는 [[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]]이다.
  
마찬가지로 f를 적당히 바꿔준다면, 4로 나누어 1이 되는 소수가 무한함도 역시 같은 방법으로 보일 수 있음.
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따라서 4로 나누어 나머지가 3이 되는 소수가 무한함을 알 수 있다. 마찬가지로 <math>f</math>를 적당히 바꿔준다면, 4로 나누어 1이 되는 소수가 무한함도 역시 같은 방법으로 보일 수 있다.
 
 
 
  
 
   
 
   
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* <math>G=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>는 유한생성아벨군의 기본정리에 의하여, 순환군의 곱으로 분해할 수 있음.
 
* <math>G=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>는 유한생성아벨군의 기본정리에 의하여, 순환군의 곱으로 분해할 수 있음.
* [[순환군과 유한아벨군의 표현론|순환군의 표현론]] 참조
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* [[순환군과 유한아벨군의 표현론]] 참조
 
* [[유한군의 표현론]]
 
* [[유한군의 표현론]]
  
 
  
 
  
 
==디리클레 L-함수==
 
==디리클레 L-함수==
  
 
* 자세한 사항은 [[디리클레 L-함수]]  항목을 참고
 
* 자세한 사항은 [[디리클레 L-함수]]  항목을 참고
정의<br> primitive인(즉, q보다 작은 주기를 갖지 않는) 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 에 대하여, 디리클레 L-함수를 다음과 같이 정의함.:<math>L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1</math><br>
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;정의
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primitive인(즉, q보다 작은 주기를 갖지 않는) 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math> 에 대하여, 디리클레 L-함수를 다음과 같이 정의함.:<math>L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1</math>
  
 
  
 
  
 
==s=1일 때, 디리클레 L-함수의 값==
 
==s=1일 때, 디리클레 L-함수의 값==
 
 
* [[디리클레 L-함수]] 항목에서 가져옴
 
* [[디리클레 L-함수]] 항목에서 가져옴
 
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* 일반적으로 <math>\chi\neq 1</math>인 primitive 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}</math>에 대하여 <math>L(1,\chi)</math>의 값은 다음과 같이 주어짐:<math>L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/f})</math>
* 일반적으로 <math>\chi\neq 1</math>인 primitive 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여 <math>L(1,\chi)</math>의 값은 다음과 같이 주어짐:<math>L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/f})</math><br>
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* 여기서 <math>\tau(\chi)</math>에 대해서는 [[가우스 합]] 항목 참조:<math>\tau_a(\chi)=\sum_{(j,f)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/f}</math>:<math>\tau(\chi)=\tau_1(\chi)</math>
* 여기서 <math>\tau(\chi)</math>에 대해서는 [[가우스 합|가우스합]] 항목 참조:<math>\tau_a(\chi)=\sum_{(j,f)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/f}</math>:<math>\tau(\chi)=\tau_1(\chi)</math><br>
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* 좀더 구체적으로 다음과 같이 쓸 수 있음
* 좀더 구체적으로 다음과 같이 쓸 수 있음<br>
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** <math>\chi(-1)=-1</math> 인 경우 :<math>L(1,\chi)= \frac{i \pi\tau(\chi)}{f^2}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a) a</math>
** <math>\chi(-1)=-1</math> 인 경우 :<math>L(1,\chi)= \frac{i \pi\tau(\chi)}{f^2}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a) a</math><br>
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** <math>\chi(-1)=1</math> 인 경우 :<math>L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{f})</math>
** <math>\chi(-1)=1</math> 인 경우 :<math>L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{f})</math><br>
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* <math>\chi\neq 1</math> 인 경우에 대해서, 디리클레는 <math>L(1,\chi)\neq 0 </math>를  증명
 
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* 이차수체 <math>K</math>의 경우, <math>L_{d_K}(1)</math> 의 값은 [[이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식]] 과 밀접하게 관련되어 있음
* <math>\chi\neq 1</math> 인 경우에 대해서, 디리클레는 <math>L(1,\chi)\neq 0 </math>를  증명<br>
 
* 이차수체 <math>K</math>의 경우:<math>L_{d_K}(1)</math> 의 값은 [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]] 과 밀접하게 관련되어 있음<br>
 
  
  
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Avigad, Jeremy, and Rebecca Morris. 2014. “Character and Object.” arXiv:1404.4832 [math], April. http://arxiv.org/abs/1404.4832.
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==관련논문==
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* Dirichlet, Peter Gustav Lejeune. ‘There Are Infinitely Many Prime Numbers in All Arithmetic Progressions with First Term and Difference Coprime’. arXiv:0808.1408 [math], 10 August 2008. http://arxiv.org/abs/0808.1408.
  
 
==관련도서==
 
==관련도서==
  
* [http://www.amazon.com/Introduction-Analytic-Number-Undergraduate-Mathematics/dp/0387901639 Introduction to Analytic Number Theory] (Undergraduate Texts in Mathematics)<br>
+
* [http://www.amazon.com/Introduction-Analytic-Number-Undergraduate-Mathematics/dp/0387901639 Introduction to Analytic Number Theory] (Undergraduate Texts in Mathematics)
 
** Tom M. Apostol
 
** Tom M. Apostol
  
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==사전형태의 자료==
 
==사전형태의 자료==
  
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%94%94%EB%A6%AC%ED%81%B4%EB%A0%88 http://ko.wikipedia.org/wiki/디리클레]
+
* http://ko.wikipedia.org/wiki/디리클레
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_theorem_on_arithmetic_progressions http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions]
+
* http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions
 +
 
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[[분류:정수론]]
 
[[분류:정수론]]
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[[분류:소수]]
 +
 +
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q7687 Q7687]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LEMMA': '1859'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:03 기준 최신판

개요

정리 (디리클레, 1837)

자연수 a, b 가 서로 소이면 등차수열 {an+b} (n=0,1,2,⋯) 는 무한히 많은 소수를 포함한다

  • 4로 나눈 나머지가 1인 소수는 무한히 많다
  • 7로 나눈 나머지가 5인 소수는 무한히 많다
  • h 와 k 가 서로 소일 때, h로 나눠서 k가 남는 소수는 무한히 많다.



증명


증명의 아이디어

소수의 역수의 합이 발산하는 것은 이미 소수와 리만제타함수 를 통해 알고 있다. \[\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty\] 이 사실은 소수가 무한히 많음을 말해준다. 디리클레 정리는 이러한 해석학적 아이디어와 군표현론의 아이디어를 결합하여 얻어진다.

예를 들어, 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\) 는 두 가지 경우가 가능하다

  • \(\chi_0(3)=1\) 인 경우
  • \(\chi_1(3)=-1\) 인 경우

자연수 집합을 정의역으로 갖는 함수 \(f\)를 다음과 같이 정의하자 \[f(n) = \begin{cases} 1\mbox{ if } n\equiv 3 \pmod{4} \\ 0 \mbox{ if } n\equiv 0,1,2 \pmod{4} \end{cases}\] 이는 \(f(n) ={\chi_0(n) - \chi_1(n) \over 2}\) 로 쓸 수 있다. 따라서, \[\sum_{p \text{:prime } \equiv 3 \pmod 4} \frac{1}{p} = \sum_{p \text{:prime}} \frac{f(p)}{p}={1\over 2 }\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p) - \chi_1(p)}{p} \approx {1\over 2 }(\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p)}{p} - \sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_1(p)}{p})\]

우변의 첫번째 항은 다음에 의해 발산함을 안다. \[ 1 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty \]

우변의 두번째 항은 다음에 의해 수렴함을 안다. \[1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\] 이는 라이프니츠 급수이다.

따라서 4로 나누어 나머지가 3이 되는 소수가 무한함을 알 수 있다. 마찬가지로 \(f\)를 적당히 바꿔준다면, 4로 나누어 1이 되는 소수가 무한함도 역시 같은 방법으로 보일 수 있다.


군표현론


디리클레 L-함수

정의

primitive인(즉, q보다 작은 주기를 갖지 않는) 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\) 에 대하여, 디리클레 L-함수를 다음과 같이 정의함.\[L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1\]


s=1일 때, 디리클레 L-함수의 값

  • 디리클레 L-함수 항목에서 가져옴
  • 일반적으로 \(\chi\neq 1\)인 primitive 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\)에 대하여 \(L(1,\chi)\)의 값은 다음과 같이 주어짐\[L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/f})\]
  • 여기서 \(\tau(\chi)\)에 대해서는 가우스 합 항목 참조\[\tau_a(\chi)=\sum_{(j,f)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/f}\]\[\tau(\chi)=\tau_1(\chi)\]
  • 좀더 구체적으로 다음과 같이 쓸 수 있음
    • \(\chi(-1)=-1\) 인 경우 \[L(1,\chi)= \frac{i \pi\tau(\chi)}{f^2}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a) a\]
    • \(\chi(-1)=1\) 인 경우 \[L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{f})\]
  • \(\chi\neq 1\) 인 경우에 대해서, 디리클레는 \(L(1,\chi)\neq 0 \)를 증명
  • 이차수체 \(K\)의 경우, \(L_{d_K}(1)\) 의 값은 이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식 과 밀접하게 관련되어 있음


메모

\(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}= \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots\)

\(\zeta(s) =\prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}\)

\(\log \zeta(s) = \log \prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} =\sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\)

\(\log(1+x) \approx x\)

\(\log \zeta(s) = \sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\approx \sum_{p \text{:prime}} \ p^{-s}=\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p^s}\)

\(\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty\)



역사



관련된 고교수학 또는 대학수학


관련된 항목들


리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Dirichlet, Peter Gustav Lejeune. ‘There Are Infinitely Many Prime Numbers in All Arithmetic Progressions with First Term and Difference Coprime’. arXiv:0808.1408 [math], 10 August 2008. http://arxiv.org/abs/0808.1408.

관련도서


사전형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': '1859'}]