"등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리"의 두 판 사이의 차이
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* 4로 나눈 나머지가 1인 소수는 무한히 많다 | * 4로 나눈 나머지가 1인 소수는 무한히 많다 | ||
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<math>\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty</math> 임은 이미 [[소수와 리만제타함수]] 를 통해 알고 있음. | <math>\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty</math> 임은 이미 [[소수와 리만제타함수]] 를 통해 알고 있음. | ||
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<math>\chi_1(3)=-1</math> 인 경우 | <math>\chi_1(3)=-1</math> 인 경우 | ||
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자연수 위에 정의된 함수 <math>f</math> 가 있어, 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. | 자연수 위에 정의된 함수 <math>f</math> 가 있어, 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자. | ||
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<math>f(n) = 0 \mbox{ if } n\equiv 0,1,2 \pmod{4}</math> | <math>f(n) = 0 \mbox{ if } n\equiv 0,1,2 \pmod{4}</math> | ||
| − | <math>f(n) ={\chi_0(n) - \chi_1(n) \over 2}</math> | + | <math>f(n) ={\chi_0(n) - \chi_1(n) \over 2}</math> 로 쓸 수 있다. |
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우변의 첫번째 항은 <math>1 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty</math> 에 의해 발산함을 안다. | 우변의 첫번째 항은 <math>1 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty</math> 에 의해 발산함을 안다. | ||
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마찬가지로 f를 적당히 바꿔준다면, 4로 나누어 1이 되는 소수가 무한함도 역시 같은 방법으로 보일 수 있음. | 마찬가지로 f를 적당히 바꿔준다면, 4로 나누어 1이 되는 소수가 무한함도 역시 같은 방법으로 보일 수 있음. | ||
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* <math>G=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>는 유한생성아벨군의 기본정리에 의하여, 순환군의 곱으로 분해할 수 있음. | * <math>G=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>는 유한생성아벨군의 기본정리에 의하여, 순환군의 곱으로 분해할 수 있음. | ||
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| − | * 정의<br> primitive인(즉, q보다 작은 주기를 갖지 않는) | + | * 정의<br> primitive인(즉, q보다 작은 주기를 갖지 않는) 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 에 대하여, 디리클레 L-함수를 다음과 같이 정의함.<br><math>L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1</math><br> |
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| − | * | + | * 일반적으로 <math>\chi\neq 1</math>인 primitive 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여 <math>L(1,\chi)</math>의 값은 다음과 같이 주어짐:<math>L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/f})</math><br> |
| − | * | + | * 여기서 <math>\tau(\chi)</math>에 대해서는 [[가우스 합|가우스합]] 항목 참조<br><math>\tau_a(\chi)=\sum_{(j,f)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/f}</math><br><math>\tau(\chi)=\tau_1(\chi)</math><br> |
* 좀더 구체적으로 다음과 같이 쓸 수 있음<br> | * 좀더 구체적으로 다음과 같이 쓸 수 있음<br> | ||
| − | ** <math>\chi(-1)=-1</math> | + | ** <math>\chi(-1)=-1</math> 인 경우 :<math>L(1,\chi)= \frac{i \pi\tau(\chi)}{f^2}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a) a</math><br> |
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| − | * <math>\chi\ | + | * <math>\chi\n eq 1</math> 인 경우에 대해서, 디리클레는 <math>L(1,\chi)\n eq 0 </math>를 증명<br> |
| − | * | + | * 이차수체 <math>K</math>의 경우<br><math>L_{d_K}(1)</math> 의 값은 [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]] 과 밀접하게 관련되어 있음<br> |
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<math>\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}= \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots</math> | <math>\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}= \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots</math> | ||
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<math>\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty</math> | <math>\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty</math> | ||
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
| − | * 1837 - | + | * 1837 - 디리클레가 [[3304643#|등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]를 증명 |
| − | * [http://en.wikipedia.org/wiki/1859 1859] - | + | * [http://en.wikipedia.org/wiki/1859 1859] - 리만이 [[리만가설]]을 발표 |
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| − | + | ==관련된 고교수학 또는 대학수학== | |
* [[순환군]] | * [[순환군]] | ||
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| − | + | ==관련된 항목들== | |
* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]] | * [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]] | ||
* [[프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리|Chebotarev density theorem]] | * [[프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리|Chebotarev density theorem]] | ||
* [[푸리에 변환]] | * [[푸리에 변환]] | ||
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| − | + | ==관련도서== | |
* [http://www.amazon.com/Introduction-Analytic-Number-Undergraduate-Mathematics/dp/0387901639 Introduction to Analytic Number Theory] (Undergraduate Texts in Mathematics)<br> | * [http://www.amazon.com/Introduction-Analytic-Number-Undergraduate-Mathematics/dp/0387901639 Introduction to Analytic Number Theory] (Undergraduate Texts in Mathematics)<br> | ||
** Tom M. Apostol | ** Tom M. Apostol | ||
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%94%94%EB%A6%AC%ED%81%B4%EB%A0%88 http://ko.wikipedia.org/wiki/디리클레] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%94%94%EB%A6%AC%ED%81%B4%EB%A0%88 http://ko.wikipedia.org/wiki/디리클레] | ||
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_theorem_on_arithmetic_progressions http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions] | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_theorem_on_arithmetic_progressions http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions] | ||
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2012년 9월 9일 (일) 10:52 판
개요
(정리) 디리클레, 1837
자연수 a, b 가 서로 소이면 등차수열 {an+b} (n=0,1,2,⋯) 는 무한히 많은 소수를 포함한다
- 4로 나눈 나머지가 1인 소수는 무한히 많다
- 7로 나눈 나머지가 5인 소수는 무한히 많다
- h 와 k 가 서로 소일 때, h로 나눠서 k가 남는 소수는 무한히 많다.
증명의 재료
- 푸리에 해석(군표현론) 과 의 아이디어를 결합시킴.
증명의 아이디어 소개
\(\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty\) 임은 이미 소수와 리만제타함수 를 통해 알고 있음.
이 사실은 소수가 무한히 많음을 말해줌.
이 아이디어와 군표현론의 아이디어를 결합.
준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 는 두 가지 경우가 가능.
\(\chi_0(3)=1\) 인 경우
\(\chi_1(3)=-1\) 인 경우
자연수 위에 정의된 함수 \(f\) 가 있어, 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
\(f(n) = 1 \mbox{ if } n\equiv 3 \pmod{4} \)
\(f(n) = 0 \mbox{ if } n\equiv 0,1,2 \pmod{4}\)
\(f(n) ={\chi_0(n) - \chi_1(n) \over 2}\) 로 쓸 수 있다.
\(\sum_{p \text{:prime } \equiv 3 \pmod 4} \frac{1}{p} = \sum_{p \text{:prime}} \frac{f(p)}{p}={1\over 2 }\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p) - \chi_1(p)}{p} \approx {1\over 2 }(\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p)}{p} - \sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_1(p)}{p})\)
우변의 첫번째 항은 \(1 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty\) 에 의해 발산함을 안다.
우변의 두번째 항은 \(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)에 의해 수렴함을 안다. 이는 라이프니츠 급수,
따라서 4로 나누어 나머지가 3이 되는 소수가 무한함을 알 수 있음
마찬가지로 f를 적당히 바꿔준다면, 4로 나누어 1이 되는 소수가 무한함도 역시 같은 방법으로 보일 수 있음.
군표현론
디리클레 L-함수
- 자세한 사항은 디리클레 L-함수 항목을 참고
- 정의
primitive인(즉, q보다 작은 주기를 갖지 않는) 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 에 대하여, 디리클레 L-함수를 다음과 같이 정의함.
\(L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1\)
s=1일 때, 디리클레 L-함수의 값
- 디리클레 L-함수 항목에서 가져옴
- 일반적으로 \(\chi\neq 1\)인 primitive 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\)에 대하여 \(L(1,\chi)\)의 값은 다음과 같이 주어짐\[L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/f})\]
- 여기서 \(\tau(\chi)\)에 대해서는 가우스합 항목 참조
\(\tau_a(\chi)=\sum_{(j,f)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/f}\)
\(\tau(\chi)=\tau_1(\chi)\) - 좀더 구체적으로 다음과 같이 쓸 수 있음
- \(\chi(-1)=-1\) 인 경우 \[L(1,\chi)= \frac{i \pi\tau(\chi)}{f^2}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a) a\]
- \(\chi(-1)=1\) 인 경우 \[L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{f})\]
- \(\chi(-1)=-1\) 인 경우 \[L(1,\chi)= \frac{i \pi\tau(\chi)}{f^2}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a) a\]
- \(\chi\n eq 1\) 인 경우에 대해서, 디리클레는 \(L(1,\chi)\n eq 0 \)를 증명
- 이차수체 \(K\)의 경우
\(L_{d_K}(1)\) 의 값은 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 과 밀접하게 관련되어 있음
메모
\(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}= \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots\)
\(\zeta(s) =\prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}\)
\(\log \zeta(s) = \log \prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} =\sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\)
\(\log(1+x) \approx x\)
\(\log \zeta(s) = \sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\approx \sum_{p \text{:prime}} \ p^{-s}=\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p^s}\)
\(\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty\)
역사
- 수학사연표
- 1837 - 디리클레가 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리를 증명
- 1859 - 리만이 리만가설을 발표
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 항목들
관련도서
- Introduction to Analytic Number Theory (Undergraduate Texts in Mathematics)
- Tom M. Apostol