"L-함수, 제타 함수와 디리클레 급수"의 두 판 사이의 차이

2010년 1월 12일 (화) 09:23 판

복소수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 디리클레 급수를 복소함수로서 다음과 같이 정의
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}\)
예
- 모든 \(n\)에 대하여, \(a_n=1\) 인 경우, 리만제타함수를 얻게 됨
- \(a_{4n+1}=1\), \(a_{4n+3}=-1\), \(a_{4n}=a_{4n+2}=0\) 인 경우 디리클레 베타함수를 얻게 됨
중요한 디리클레 급수의 경우 다음과 같은 성질을 만족시킴
- 해석적확장(analytic continuation)
- 함수방정식
- 오일러곱
중요한 문제들
- 해석적확장의 개념적 이해
- 정수에서의 special values
- \(s=1\)에서의 유수
- \(L'(1)\) 의 값
- 일반화된 리만가설

리만제타함수 항목 참조
\(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\), \(\mathfrak{R}(s)>1\)

준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의함.
\(L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}\) , \(\mathfrak{R}(s)>1\)
디리클레 L-함수 에서 자세히 다룸

수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
\(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\)
여기서 \(a_{n}\)은 \(N(\mathfrak{a})=n\)을 만족시키는 integral ideal의 개수

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