"미분방정식"의 두 판 사이의 차이

2012년 11월 2일 (금) 08:10 판

미분방정식은 자연현상을 기술하는 수학적인 언어
함수를 계수로 하여 미지수가 되는 일변수 함수와 고계도함수 사이에 만족되는 방정식을 말함
학부과정에서는 상미분방정식 과목과 편미분방정식이 있음
미분방정식의 해를 적당한 클래스의 함수(가령 초등함수, 초등함수의 적분) 들을 이용하여 표현하는 문제(solvability, integrability, quadrature)
분류법
- 미분방정식의 계(order)
- 선형미분방정식과 비선형미분방정식
- 상미분방정식과 편미분방정식

다음 형태로 주어지는 미분방정식을 이계선형미분방정식이라 함
\(\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)\)
상수계수 이계 선형미분방정식
\(ay''+by'+cy=0\)
Airy 미분방정식
\(y'' - xy = 0\)
베셀 미분방정식
\(x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0\)
에르미트 다항식(Hermite polynomials)
\(y''-2xy'+\lambda y=0\)
르장드르 다항식
\((1-x^2)y''-2xy'+\lambda(\lambda+1) y=0\)
체비셰프 다항식
\((1-x^2)y''-xy'+\lambda^2 y=0\)
라게르 미분방정식
\(xy''+(1-x)y'+\lambda y=0\)
오일러 미분방정식
\(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+\alpha x\frac{dy}{dx}+\beta y=0\)
초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)
\(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\)
리만 미분방정식
\(\frac{d^2w}{dz^2} + \left[ \frac{1-\alpha-\alpha'}{z-a} + \frac{1-\beta-\beta'}{z-b} + \frac{1-\gamma-\gamma'}{z-c} \right] \frac{dw}{dz}+\left[ \frac{\alpha\alpha' (a-b)(a-c)} {z-a} +\frac{\beta\beta' (b-c)(b-a)} {z-b} +\frac{\gamma\gamma' (c-a)(c-b)} {z-c} \right] \frac{w}{(z-a)(z-b)(z-c)}=0\)
여기서 \(\alpha+\alpha'+\beta+\beta'+\gamma+\gamma'=1\)

호인 미분방정식(Heun's equation)
\(\frac {d^2w}{dz^2} + \left[\frac{\gamma}{z}+ \frac{\delta}{z-1} + \frac{\epsilon}{z-d} \right] \frac {dw}{dz} + \frac {\alpha \beta z -q} {z(z-1)(z-d)} w = 0\) (여기서 \(\epsilon=\alpha+\beta-\gamma-\delta+1\))

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