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==일계 미분방정식==
 
==일계 미분방정식==
  
* [[일계 선형미분방정식|일계선형미분방정식]]<br><math>\frac{dy}{dt}+a(t)y=b(t)</math><br>
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* [[일계 선형미분방정식|일계선형미분방정식]]:<math>\frac{dy}{dt}+a(t)y=b(t)</math><br>
* [[완전미분방정식]]<br><math>M_y=N_x</math>를 만족시키는 <math>M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy = 0</math>  꼴의 미분방정식<br>
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* [[완전미분방정식]]:<math>M_y=N_x</math>를 만족시키는 <math>M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy = 0</math>  꼴의 미분방정식<br>
 
* 다음 미분방정식들은 비선형이다
 
* 다음 미분방정식들은 비선형이다
* [[리카티 미분방정식]]<br><math>y' = A(x)+ B(x)y + C(x)y^2, A(x)\neq 0, C(x)\neq 0</math><br>
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* [[리카티 미분방정식]]:<math>y' = A(x)+ B(x)y + C(x)y^2, A(x)\neq 0, C(x)\neq 0</math><br>
* [[베르누이 미분방정식]]<br><math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n</math><br>
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* [[베르누이 미분방정식]]:<math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n</math><br>
  
 
 
 
 
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==이계 선형미분방정식==
 
==이계 선형미분방정식==
  
*  다음 형태로 주어지는 미분방정식을 [[이계 선형 미분방정식|이계선형미분방정식]]이라 함<br><math>\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)</math><br>
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*  다음 형태로 주어지는 미분방정식을 [[이계 선형 미분방정식|이계선형미분방정식]]이라 함:<math>\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)</math><br>
* [[상수계수 이계 선형미분방정식]]<br><math>ay''+by'+cy=0</math><br>
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* [[상수계수 이계 선형미분방정식]]:<math>ay''+by'+cy=0</math><br>
* [[에어리 (Airy) 함수와 미분방정식|Airy 미분방정식]]<br><math>y'' - xy = 0</math><br>
+
* [[에어리 (Airy) 함수와 미분방정식|Airy 미분방정식]]:<math>y'' - xy = 0</math><br>
* [[베셀 미분방정식]]<br><math>x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0</math><br>
+
* [[베셀 미분방정식]]:<math>x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0</math><br>
* [[에르미트 다항식(Hermite polynomials)]]<br><math>y''-2xy'+\lambda y=0</math><br>
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* [[에르미트 다항식(Hermite polynomials)]]:<math>y''-2xy'+\lambda y=0</math><br>
* [[르장드르 다항식]]<br><math>(1-x^2)y''-2xy'+\lambda(\lambda+1) y=0</math><br>
+
* [[르장드르 다항식]]:<math>(1-x^2)y''-2xy'+\lambda(\lambda+1) y=0</math><br>
* [[체비셰프 다항식]]<br><math>(1-x^2)y''-xy'+\lambda^2 y=0</math><br>
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* [[체비셰프 다항식]]:<math>(1-x^2)y''-xy'+\lambda^2 y=0</math><br>
*  라게르 미분방정식<br><math>xy''+(1-x)y'+\lambda y=0</math><br>
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*  라게르 미분방정식:<math>xy''+(1-x)y'+\lambda y=0</math><br>
* [[오일러 미분방정식]]<br><math>x^2\frac{d^2y}{dx^2}+\alpha x\frac{dy}{dx}+\beta y=0</math><br>
+
* [[오일러 미분방정식]]:<math>x^2\frac{d^2y}{dx^2}+\alpha x\frac{dy}{dx}+\beta y=0</math><br>
* [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]<br><math>z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0</math><br>
+
* [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]:<math>z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0</math><br>
* [[리만 미분방정식]]<br><math>\frac{d^2w}{dz^2} + \left[ \frac{1-\alpha-\alpha'}{z-a} + \frac{1-\beta-\beta'}{z-b} + \frac{1-\gamma-\gamma'}{z-c} \right] \frac{dw}{dz}+\left[ \frac{\alpha\alpha' (a-b)(a-c)} {z-a} +\frac{\beta\beta' (b-c)(b-a)} {z-b} +\frac{\gamma\gamma' (c-a)(c-b)} {z-c} \right] \frac{w}{(z-a)(z-b)(z-c)}=0</math><br> 여기서 <math>\alpha+\alpha'+\beta+\beta'+\gamma+\gamma'=1</math><br>
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* [[리만 미분방정식]]:<math>\frac{d^2w}{dz^2} + \left[ \frac{1-\alpha-\alpha'}{z-a} + \frac{1-\beta-\beta'}{z-b} + \frac{1-\gamma-\gamma'}{z-c} \right] \frac{dw}{dz}+\left[ \frac{\alpha\alpha' (a-b)(a-c)} {z-a} +\frac{\beta\beta' (b-c)(b-a)} {z-b} +\frac{\gamma\gamma' (c-a)(c-b)} {z-c} \right] \frac{w}{(z-a)(z-b)(z-c)}=0</math><br> 여기서 <math>\alpha+\alpha'+\beta+\beta'+\gamma+\gamma'=1</math><br>
  
* [[호인 미분방정식(Heun's equation)]]<br><math>\frac {d^2w}{dz^2} +  \left[\frac{\gamma}{z}+ \frac{\delta}{z-1} + \frac{\epsilon}{z-d} \right]  \frac {dw}{dz}  + \frac {\alpha \beta z -q} {z(z-1)(z-d)} w = 0</math> (여기서 <math>\epsilon=\alpha+\beta-\gamma-\delta+1</math>)<br>
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* [[호인 미분방정식(Heun's equation)]]:<math>\frac {d^2w}{dz^2} +  \left[\frac{\gamma}{z}+ \frac{\delta}{z-1} + \frac{\epsilon}{z-d} \right]  \frac {dw}{dz}  + \frac {\alpha \beta z -q} {z(z-1)(z-d)} w = 0</math> (여기서 <math>\epsilon=\alpha+\beta-\gamma-\delta+1</math>)<br>
  
 
 
 
 
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* [[팽르베 미분방정식(Painlevé Equations)|팽르베 미분방정식]]<br>
 
* [[팽르베 미분방정식(Painlevé Equations)|팽르베 미분방정식]]<br>
* [[바이어슈트라스 타원함수 ℘|바이어슈트라스의 타원함수]]<br><math>(\frac{dw}{dz})^2=4w^3-g_2w-g_3</math><br>
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* [[바이어슈트라스 타원함수 ℘|바이어슈트라스의 타원함수]]:<math>(\frac{dw}{dz})^2=4w^3-g_2w-g_3</math><br>
  
 
 
 
 

2013년 1월 12일 (토) 10:40 판

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개요

  • 미분방정식은 자연현상을 기술하는 수학적인 언어
  • 함수를 계수로 하여 미지수가 되는 일변수 함수와 고계도함수 사이에 만족되는 방정식을 말함
  • 학부과정에서는 상미분방정식 과목과 편미분방정식이 있음
  • 미분방정식의 해를 적당한 클래스의 함수(가령 초등함수, 초등함수의 적분) 들을 이용하여 표현하는 문제(solvability, integrability, quadrature)
  • 분류법
    • 미분방정식의 계(order)
    • 선형미분방정식과 비선형미분방정식
    • 상미분방정식과 편미분방정식

 

 

일계 미분방정식

 

 

이계 선형미분방정식

  • 호인 미분방정식(Heun's equation)\[\frac {d^2w}{dz^2} + \left[\frac{\gamma}{z}+ \frac{\delta}{z-1} + \frac{\epsilon}{z-d} \right] \frac {dw}{dz} + \frac {\alpha \beta z -q} {z(z-1)(z-d)} w = 0\] (여기서 \(\epsilon=\alpha+\beta-\gamma-\delta+1\))

 

 

비선형 미분방저식

 

 

스텀-리우빌

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  • qualitative study

 

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