미분방정식
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개요
- 미분방정식은 자연현상을 기술하는 수학적인 언어
- 함수를 계수로 하여 미지수가 되는 일변수 함수와 고계도함수 사이에 만족되는 방정식을 말함
- 학부과정에서는 상미분방정식 과목과 편미분방정식이 있음
- 미분방정식의 해를 적당한 클래스의 함수(가령 초등함수, 초등함수의 적분) 들을 이용하여 표현하는 문제(solvability, integrability, quadrature)
- 분류법
- 미분방정식의 계(order)
- 선형미분방정식과 비선형미분방정식
- 상미분방정식과 편미분방정식
일계 미분방정식
- 일계선형미분방정식
\(\frac{dy}{dt}+a(t)y=b(t)\) - 완전미분방정식
\(M_y=N_x\)를 만족시키는 \(M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy = 0\) 꼴의 미분방정식 - 다음 미분방정식들은 비선형이다
- 리카티 미분방정식
\(y' = A(x)+ B(x)y + C(x)y^2, A(x)\neq 0, C(x)\neq 0\) - 베르누이 미분방정식
\(y'+ P(x)y = Q(x)y^n\)
이계 선형미분방정식
- 다음 형태로 주어지는 미분방정식을 이계선형미분방정식이라 함
\(\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)\) - 상수계수 이계 선형미분방정식
\(ay''+by'+cy=0\) - Airy 미분방정식
\(y'' - xy = 0\) - 베셀 미분방정식
\(x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0\) - 에르미트 다항식(Hermite polynomials)
\(y''-2xy'+\lambda y=0\) - 르장드르 다항식
\((1-x^2)y''-2xy'+\lambda(\lambda+1) y=0\) - 체비셰프 다항식
\((1-x^2)y''-xy'+\lambda^2 y=0\) - 라게르 미분방정식
\(xy''+(1-x)y'+\lambda y=0\) - 오일러 미분방정식
\(x^2\frac{d^2y}{dx^2}+\alpha x\frac{dy}{dx}+\beta y=0\) - 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)
\(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\) - 리만 미분방정식
\(\frac{d^2w}{dz^2} + \left[ \frac{1-\alpha-\alpha'}{z-a} + \frac{1-\beta-\beta'}{z-b} + \frac{1-\gamma-\gamma'}{z-c} \right] \frac{dw}{dz}+\left[ \frac{\alpha\alpha' (a-b)(a-c)} {z-a} +\frac{\beta\beta' (b-c)(b-a)} {z-b} +\frac{\gamma\gamma' (c-a)(c-b)} {z-c} \right] \frac{w}{(z-a)(z-b)(z-c)}=0\)
여기서 \(\alpha+\alpha'+\beta+\beta'+\gamma+\gamma'=1\)
- 호인 미분방정식(Heun's equation)
\(\frac {d^2w}{dz^2} + \left[\frac{\gamma}{z}+ \frac{\delta}{z-1} + \frac{\epsilon}{z-d} \right] \frac {dw}{dz} + \frac {\alpha \beta z -q} {z(z-1)(z-d)} w = 0\) (여기서 \(\epsilon=\alpha+\beta-\gamma-\delta+1\))
비선형 미분방저식
- 팽르베 미분방정식
- 바이어슈트라스의 타원함수
\((\frac{dw}{dz})^2=4w^3-g_2w-g_3\)
스텀-리우빌
- 스텀-리우빌 이론 항목에서 자세히 다룸
재미있는 사실
역사
메모
- qualitative study
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수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/상미분_방정식
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/differential_equation
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- What It Means to Understand a Differential Equation
- John H. Hubbard, The College Mathematics Journal, Vol. 25, No. 5 (Nov., 1994), pp. 372-384
- Elementary Quadratures of Ordinary Differential Equations
- Li Hong-Xiang, The American Mathematical Monthly, Vol. 89, No. 3 (Mar., 1982), pp. 198-208
- Symmetry and Differential Equations
- J. V. Greenman, The Mathematical Gazette, Vol. 61, No. 418 (Dec., 1977), pp. 279-283
- Anatomy of the Ordinary Differential Equation
- W. T. Reid, The American Mathematical Monthly, Vol. 82, No. 10 (Dec., 1975), pp. 971-984
- T. Craig
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=differential+equation
- http://dx.doi.org/
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