"대칭 겹선형 형식과 이차형식"의 두 판 사이의 차이
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* 체 위에서의 이차형식은 대각화가 가능 | * 체 위에서의 이차형식은 대각화가 가능 | ||
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2020년 11월 16일 (월) 05:06 기준 최신판
개요
- 겹선형 형식(bilinear form)의 특수한 경우
- 체 위에서 정의된 이차형식
- 등방 형식(isotropic form)의 판정
- 이차형식의 분류문제
- 유리계수 이차형식과 local-global 원리
- 정수계수 이차형식
- indefinite form의 분류
- positive definite 이차형식의 분류는 매우 어려운 문제
- 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)
- 정수계수 삼변수 이차형식(ternary integral quadratic forms)
선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들
다루는 대상
- 이차형식
중요한 개념 및 정리
- 이차형식의 대각화
- 등방형식, 비등방형식
- Witt ring
- Brauer group
- local-global principle
- proper equivalence
- genus
- spinor genus
예
- 체 위에서의 이차형식은 대각화가 가능
- 다음의 행렬에 대응되는 유리계수 이차형식을 생각하자
\[ B=\left( \begin{array}{ccc} -2 & 3 & 5 \\ 3 & 1 & -1 \\ 5 & -1 & 4 \end{array} \right) , \quad S=\left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 66 & 0 \\ 0 & 0 & 3201 \end{array} \right) \]
- 다음이 성립한다
\[ P^{T}BP=S \] 여기서 \[ P=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 & 17 \\ 0 & 0 & 33 \\ 0 & 2 & -13 \end{array} \right). \]
유명한 정리 혹은 재미있는 문제
역사
- Herrmann Minkowski (1864 - 1909)
- Helmut Hasse (1898 - 1979)
- Carl Ludwig Siegel (1896 - 1982)
- Ernst Witt (1911 - 1991)
- Martin Eichler (1912 - 1992)
- Martin Kneser (1928 - 2004)
다른 과목과의 관련성
관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
수학용어번역
- signature - 대한수학회 수학용어집, 부호(차)수
- equivalent - 대한수학회 수학용어집, 동치(인), 등가(인)
- isotropic - 대한수학회 수학용어집, 등방성의
표준적인 교과서
- Serre, J.-P. 1973. A Course in Arithmetic. Springer.
- 책의 절반은 유리수체 위에서 정의된 이차형식의 분류와 관련하여 local-global 원리를 증명함
- 나머지 절반은 정수계수 이차형식에 관한 주제를 다룸.
- Sphere Packings, Lattices and Groups (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften)
- John Horton Conway, Neil J. A. Sloane
- 이 분야의 가장 표준적인 도서
추천도서 및 보조교재
- Symmetric bilinear forms (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete)
- John Willard Milnor and Dale Husemoller
관련논문
- Anish Ghosh, Dubi Kelmer, A Quantitative Oppenheim Theorem for generic ternary quadratic forms, arXiv:1606.02388 [math.NT], June 08 2016, http://arxiv.org/abs/1606.02388
- http://arxiv.org/abs/1511.03022
리뷰, 에세이, 강의노트
- Scharlau, Rudolf. "Martin Kneser's work on quadratic forms and algebraic groups." Contemporary Mathematics 493 (2009): 339.
- On the Diagonalization of Quadratic Forms
- T. Y. Lam, Mathematics Magazine, Vol. 72, No. 3 (Jun., 1999), pp. 231-235
메모
- Jean Bourgain, A quantitative Oppenheim Theorem for generic diagonal quadratic forms, arXiv:1604.02087[math.NT], April 07 2016, http://arxiv.org/abs/1604.02087v1