"L-함수, 제타 함수와 디리클레 급수"의 두 판 사이의 차이
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* [[리만제타함수]] 항목 참조<br><math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math>, 1" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5Cmathfrak%7BR%7D%28s%29%3E1"><br> | * [[리만제타함수]] 항목 참조<br><math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math>, 1" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5Cmathfrak%7BR%7D%28s%29%3E1"><br> | ||
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* 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의함.<br><math>L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}</math> , <math>\mathfrak{R}(s)>1</math><br> | * 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의함.<br><math>L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}</math> , <math>\mathfrak{R}(s)>1</math><br> | ||
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* 수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨<br><math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}</math><br> 여기서 <math>a_{n}</math>은 <math>N(\mathfrak{a})=n</math>을 만족시키는 integral ideal의 개수<br> | * 수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨<br><math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}</math><br> 여기서 <math>a_{n}</math>은 <math>N(\mathfrak{a})=n</math>을 만족시키는 integral ideal의 개수<br> | ||
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* [[대수적다양체의 제타함수]]<br><math>Z_p(T)=\exp(\sum_{r=1}^{\infty}N_r\frac{T^r}{r})</math><br> | * [[대수적다양체의 제타함수]]<br><math>Z_p(T)=\exp(\sum_{r=1}^{\infty}N_r\frac{T^r}{r})</math><br> | ||
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
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* [http://math.stackexchange.com/questions/79406/reference-request-l-series-and-zeta-functions Reference request: L-series and ζ-functions] | * [http://math.stackexchange.com/questions/79406/reference-request-l-series-and-zeta-functions Reference request: L-series and ζ-functions] | ||
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* [[L-함수의 값 구하기 입문]]<br> | * [[L-함수의 값 구하기 입문]]<br> | ||
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| − | + | ==수학용어번역== | |
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | ||
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| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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| − | + | ==관련링크와 웹페이지== | |
* [http://l-functions.org/MyStartingPage The Modular Forms and L-functions Database Project]<br> | * [http://l-functions.org/MyStartingPage The Modular Forms and L-functions Database Project]<br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 14:24 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 리만제타함수의 일반화
- 디리클레 L-함수는 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리를 증명하는데 사용됨
- 디리클레 class number 공식, Birch and Swinnerton-Dyer 추측 등 정수론의 중요한 주제
- 수체(number field)에 대해 정의되는 데데킨트 제타함수
정의
- 복소수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 디리클레 급수를 복소함수로서 다음과 같이 정의
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}\) - 예
- 중요한 디리클레 급수의 경우 다음과 같은 성질을 만족시킴
- 해석적확장(analytic continuation)
- 함수방정식
- 오일러곱
- (추측)일반화된 리만가설
- 해석적확장(analytic continuation)
- 중요한 문제들
- 해석적확장의 개념적 이해
- 정수에서의 special values
- \(s=1\)에서의 유수
- \(L'(1)\) 의 값 (Birch and Swinnerton-Dyer 추측)
- 일반화된 리만가설
- 해석적확장의 개념적 이해
리만제타함수
- 리만제타함수 항목 참조
\(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\), 1" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5Cmathfrak%7BR%7D%28s%29%3E1">
디리클레 L-함수
- 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의함.
\(L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}\) , \(\mathfrak{R}(s)>1\) - 디리클레 L-함수 항목 참조
데데킨트 제타함수
- 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨
\(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\)
여기서 \(a_{n}\)은 \(N(\mathfrak{a})=n\)을 만족시키는 integral ideal의 개수
Hecke L-함수
타원곡선의 L-함수
- 타원곡선 항목에서 가져옴
- Hasse-Weil 제타함수라고도 함
- 타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, 다음과 같이 정의됨
\(L(s,E)=\prod_pL_p(s,E)^{-1}\)
여기서
\(L_p(s,E)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_pp^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right\) - 여기서 \(a_p\)는 유한체위에서의 해의 개수와 관련된 정수
- Birch and Swinnerton-Dyer 추측 항목 참조
모듈라 형식의 L-함수
- 모듈라 형식(modular forms) f에 대응되는 L-함수
\(f(\tau) = \sum_{n=0}^\infty a_n e^{2i\pi n\tau}\)
\(L(s,f)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\)
아틴 L-함수
대수적다양체와 제타함수
- 대수적다양체의 제타함수
\(Z_p(T)=\exp(\sum_{r=1}^{\infty}N_r\frac{T^r}{r})\)
역사
- 수학사연표
- 1920 Eric Hecke analytic continuation of L-functions of number fields
메모
하위페이지
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_series
- http://en.wikipedia.org/wiki/General_Dirichlet_series
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hecke_character
- http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Riemann_hypothesis
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
관련링크와 웹페이지
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- P. Cartier, An introduction to zeta functions, in \ From number theory to physics", ed. M. Walschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson Springer