"L-함수, 제타 함수와 디리클레 급수"의 두 판 사이의 차이

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* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식|디리클레 class number 공식]], [[Birch and Swinnerton-Dyer 추측]] 등 정수론의 중요한 주제<br>
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*  복소수열 <math>\{a_n\}</math>에 대하여 디리클레 급수를 복소함수로서 다음과 같이 정의:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}</math>
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**  모든 <math>n</math>에 대하여, <math>a_n=1</math> 인 경우, [[리만제타함수]]를 얻게 됨<br>
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** <math>a_{4n+1}=1</math>, <math>a_{4n+3}=-1</math>, <math>a_{4n}=a_{4n+2}=0</math> 인 경우 [[디리클레 베타함수]]를 얻게 됨<br>
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*  준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의함.:<math>L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}</math> ,  <math>\mathfrak{R}(s)>1</math><br>
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*  준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의함.:<math>L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}</math> , <math>\mathfrak{R}(s)>1</math>
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*  수체 <math>K</math>에 대하여, [[데데킨트 제타함수]]는 다음과 같이 정의됨:<math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}</math> 여기서 <math>a_{n}</math>은 <math>N(\mathfrak{a})=n</math>을 만족시키는 integral ideal의 개수
  
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==타원곡선의 L-함수==
 
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* Hasse-Weil 제타함수라고도 함
 
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*  타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, 다음과 같이 정의됨:<math>L(s,E)=\prod_pL_p(s,E)^{-1}</math><br> 여기서 
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:<math>L_p(s,E)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_p p^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right.</math>
 
:<math>L_p(s,E)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_p p^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right.</math>
 
*  여기서 <math>a_p</math>는 유한체위에서의 해의 개수와 관련된 정수로 <math>a_p=p+1-\#E(\mathbb{F}_p)</math>
 
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* [[Birch and Swinnerton-Dyer 추측]] 항목 참조
 
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* [[모듈라 형식(modular forms)]] f에 대응되는 L-함수:<math>f(\tau) = \sum_{n=0}^\infty a_n e^{2i\pi n\tau}</math>:<math>L(s,f)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}</math>
  
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* [[수학사 연표]]
 
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* 1920 Eric Hecke analytic continuation of  L-functions of number fields
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* [http://math.stackexchange.com/questions/79406/reference-request-l-series-and-zeta-functions Reference request: L-series and ζ-functions]
 
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* [[다중 제타함수]]
 
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==관련된 항목들==
 
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* [[로그 탄젠트 적분(log tangent integral)|적분쇼]]
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* [[원분체 (cyclotomic field)]]
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==수학용어번역==
 
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
  
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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==관련링크와 웹페이지==
 
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* [http://l-functions.org/MyStartingPage The Modular Forms and L-functions Database Project]<br>
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* [http://l-functions.org/MyStartingPage The Modular Forms and L-functions Database Project]
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* [http://wain.mi.ras.ru/zw/ Zeta values on the Web]<br>
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 
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*  P. Cartier, An introduction to zeta functions, in \ From number theory to physics", ed. M. Walschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson Springer<br>
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*  P. Cartier, An introduction to zeta functions, in \ From number theory to physics", ed. M. Walschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson Springer

2014년 1월 1일 (수) 17:19 판

개요



정의

  • 복소수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 디리클레 급수를 복소함수로서 다음과 같이 정의\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}\]
  • 예
  • 중요한 디리클레 급수의 경우 다음과 같은 성질을 만족시킴
  • 중요한 문제들
    • 해석적확장의 개념적 이해
    • 정수에서의 special values
    • \(s=1\)에서의 유수
    • \(L'(1)\) 의 값 (Birch and Swinnerton-Dyer 추측)
    • 일반화된 리만가설



리만제타함수


디리클레 L-함수

  • 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의함.\[L(s, \chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}\] , \(\mathfrak{R}(s)>1\)
  • 디리클레 L-함수 항목 참조




데데킨트 제타함수

  • 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨\[\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\] 여기서 \(a_{n}\)은 \(N(\mathfrak{a})=n\)을 만족시키는 integral ideal의 개수



Hecke L-함수

타원곡선의 L-함수

  • 타원곡선 항목에서 가져옴
  • Hasse-Weil 제타함수라고도 함
  • 타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, 다음과 같이 정의됨\[L(s,E)=\prod_pL_p(s,E)^{-1}\] 여기서

\[L_p(s,E)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_p p^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right.\]



모듈라 형식의 L-함수



아틴 L-함수

대수적다양체와 제타함수



역사

  • 수학사 연표
  • 1920 Eric Hecke analytic continuation of L-functions of number fields




메모



하위페이지



관련된 항목들


수학용어번역


사전 형태의 자료



관련링크와 웹페이지




리뷰논문, 에세이, 강의노트

  • P. Cartier, An introduction to zeta functions, in \ From number theory to physics", ed. M. Walschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson Springer
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