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| − | ** 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 | + | ** 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.:<math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}</math> |
| − | ** 복소수 중에서 어떠한 | + | ** 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방 |
| + | * [[대수적수론]] 에 비해 훨씬 어렵고, 체계적인 이론이 확립되어 있지 않음. | ||
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| − | * [[파이 π는 무리수이다]] | + | * [[파이 π는 무리수이다]] |
| − | * [[ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)]] | + | * [[ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)]] |
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| − | * [[파이 π는 초월수이다|파이는 초월수이다]] | + | * [[파이 π는 초월수이다|파이는 초월수이다]] |
| − | * [[자연상수 e는 초월수이다]] | + | * [[자연상수 e는 초월수이다]] |
| − | * [[타원적분]] | + | * [[타원적분]] |
| − | * 겔폰드 | + | * 겔폰드 상수 <math>e^\pi</math> |
| − | ** [[겔폰드-슈나이더 정리]] | + | ** [[겔폰드-슈나이더 정리]] 참조 |
| − | * [[감마함수]]의 유리수에서의 값:<math>\Gamma(\frac{1}{3}) | + | * [[감마함수]]의 유리수에서의 값:<math>\Gamma(\frac{1}{3}),\Gamma(\frac{2}{3}),\Gamma(\frac{1}{4}),\Gamma(\frac{3}{4}),\Gamma(\frac{1}{6}),\Gamma(\frac{5}{6})</math> |
| − | * [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]] | + | * [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]] <math>a,b,a+b \in \mathbb{Q-Z}</math> 이면 <math>B(a,b)</math> 는 초월수이다 |
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| − | * [[린데만-바이어슈트라스 정리]] | + | * [[린데만-바이어슈트라스 정리]] 대수적 수 <math>\alpha_1,\cdots,\alpha_n</math> 가 유리수체 위에서 선형독립이면, <math>e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}</math> 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 <math>\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})</math>의 transcendence degree가 n이다. |
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| + | * <math>\alpha \ne 0</math>,<math>\alpha \ne 1</math>,<math>\beta\notin \mathbb{Q}</math> 인 복소수 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math> 가 대수적수이면, <math>\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha}</math> 는 초월수이다. | ||
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B4%88%EC%9B%94%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/초월수] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B4%88%EC%9B%94%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/초월수] | ||
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| − | * [http://books.google.com/books?id=Up-XxkiTtdsC&pg=PA148&lpg=PA148&dq=On+the+Algebraic+Independence+of+Numbers+Yu.V.+Nesterenko&source=bl&ots=yOVhiH5ukL&sig=x0GqVIluMqw-_Iaf3tXtKxam50Q&hl=ko&ei=KIwRTPiwB4rcNcSE8ccF&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CCQQ6AEwAg#v=onepage&q=On%20the%20Algebraic%20Independence%20of%20Numbers%20Yu.V.%20Nesterenko&f=false On the Algebraic Independence of Numbers] | + | * [http://books.google.com/books?id=Up-XxkiTtdsC&pg=PA148&lpg=PA148&dq=On+the+Algebraic+Independence+of+Numbers+Yu.V.+Nesterenko&source=bl&ots=yOVhiH5ukL&sig=x0GqVIluMqw-_Iaf3tXtKxam50Q&hl=ko&ei=KIwRTPiwB4rcNcSE8ccF&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CCQQ6AEwAg#v=onepage&q=On%20the%20Algebraic%20Independence%20of%20Numbers%20Yu.V.%20Nesterenko&f=false On the Algebraic Independence of Numbers] |
| − | ** Yu.V. Nesterenko, | + | ** Yu.V. Nesterenko, in <em style="line-height: 2em;">A panorama in number theory, or, The view from Baker's garden</em> (by Alan Baker,Gisbert Wüstholz), 2002 |
| − | * [http://books.google.com/books?id=liYae-vUZs4C Introduction to algebraic independence theory] | + | * [http://books.google.com/books?id=liYae-vUZs4C Introduction to algebraic independence theory] |
** Valentinovich Nesterenko,Patrice Philippo, 2001 | ** Valentinovich Nesterenko,Patrice Philippo, 2001 | ||
| − | * Diophantine approximations and Diophantine equations | + | * Diophantine approximations and Diophantine equations |
| − | ** Wolfgang M. Schmidt. | + | ** Wolfgang M. Schmidt. Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000 |
| − | * [http://www.amazon.com/Transcendental-Number-Cambridge-Mathematical-Library/dp/052139791X Transcendental Number Theory] | + | * [http://www.amazon.com/Transcendental-Number-Cambridge-Mathematical-Library/dp/052139791X Transcendental Number Theory] |
| − | ** Alan Baker, | + | ** Alan Baker, Cambridge University Press, 1975 |
| − | * [http://www.amazon.com/Making-Transcendence-Transparent-intuitive-transcendental/dp/0387214445/ref=pd_sim_b_7 Making Transcendence Transparent: An intuitive approach to classical transcendental number theory] | + | * [http://www.amazon.com/Making-Transcendence-Transparent-intuitive-transcendental/dp/0387214445/ref=pd_sim_b_7 Making Transcendence Transparent: An intuitive approach to classical transcendental number theory] |
| − | ** Edward B. Burger, Robert Tubbs, | + | ** Edward B. Burger, Robert Tubbs, Springer |
| − | * [http://books.google.com/books?id=Oh7t93UK7F0C Transcendental Numbers] | + | * [http://books.google.com/books?id=Oh7t93UK7F0C Transcendental Numbers] |
| − | ** C.L.Siegel | + | ** C.L.Siegel |
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| + | * 정경훈, [http://navercast.naver.com/science/math/561 무리수이야기], 네이버 오늘의 과학, 2009-6-9 | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
| − | * [http://mathdl.maa.org/mathDL/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2886 Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)] | + | * [http://mathdl.maa.org/mathDL/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2886 Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)] |
| − | ** Dirk Huylebrouck, | + | ** Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231 |
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==관련링크 및 웹페이지== | ==관련링크 및 웹페이지== | ||
* [http://www.math.jussieu.fr/%7Emiw/coursHCMUNS2007.html Introduction to Diophantine methods: irrationality and transcendence] | * [http://www.math.jussieu.fr/%7Emiw/coursHCMUNS2007.html Introduction to Diophantine methods: irrationality and transcendence] | ||
| − | * [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/main785.html Transcendental number theory] | + | * [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/main785.html Transcendental number theory] |
| − | ** Michael | + | ** Michael Filaseta Lecture notes |
** [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes7.pdf Lindemann's Theorem] | ** [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes7.pdf Lindemann's Theorem] | ||
** [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes8.pdf The Gelfond-Schneider Theorem and Some Related Results] | ** [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes8.pdf The Gelfond-Schneider Theorem and Some Related Results] | ||
* [http://modular.math.washington.edu/swc/aws/08/ Arizona Winter School 2008: Special Functions and Transcendence] | * [http://modular.math.washington.edu/swc/aws/08/ Arizona Winter School 2008: Special Functions and Transcendence] | ||
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2013년 8월 17일 (토) 17:19 판
개요
- 복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함
- 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.\[a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\]
- 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방
- 대수적수론 에 비해 훨씬 어렵고, 체계적인 이론이 확립되어 있지 않음.
- 보통 period나 regulator로 얻어지는 수가 초월수인지에 관심을 가짐
무리수의 예
초월수의 예
- 파이는 초월수이다
- 자연상수 e는 초월수이다
- 타원적분
- 겔폰드 상수 \(e^\pi\)
- 겔폰드-슈나이더 정리 참조
- 감마함수의 유리수에서의 값\[\Gamma(\frac{1}{3}),\Gamma(\frac{2}{3}),\Gamma(\frac{1}{4}),\Gamma(\frac{3}{4}),\Gamma(\frac{1}{6}),\Gamma(\frac{5}{6})\]
- 오일러 베타적분 \(a,b,a+b \in \mathbb{Q-Z}\) 이면 \(B(a,b)\) 는 초월수이다
일차독립과 대수적독립
린데만-바이어슈트라스 정리
- 린데만-바이어슈트라스 정리 대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 \(\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})\)의 transcendence degree가 n이다.
겔폰드-슈나이더 정리
- 겔폰드-슈나이더, 1934
- \(\alpha \ne 0\),\(\alpha \ne 1\),\(\beta\notin \mathbb{Q}\) 인 복소수 \(\alpha\)와 \(\beta\) 가 대수적수이면, \(\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha}\) 는 초월수이다.
- 겔폰드-슈나이더 정리 항목 참조
베이커의 정리
메모
- http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/irrationality.html
- http://mathandmultimedia.com/2012/01/06/proof-that-log-2-is-irrational-number/
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/초월수
- http://en.wikipedia.org/wiki/Thue–Siegel–Roth_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond-Schneider_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Gamma_function
관련도서
- On the Algebraic Independence of Numbers
- Yu.V. Nesterenko, in A panorama in number theory, or, The view from Baker's garden (by Alan Baker,Gisbert Wüstholz), 2002
- Introduction to algebraic independence theory
- Valentinovich Nesterenko,Patrice Philippo, 2001
- Diophantine approximations and Diophantine equations
- Wolfgang M. Schmidt. Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000
- Transcendental Number Theory
- Alan Baker, Cambridge University Press, 1975
- Making Transcendence Transparent: An intuitive approach to classical transcendental number theory
- Edward B. Burger, Robert Tubbs, Springer
- Transcendental Numbers
- C.L.Siegel
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- 정경훈, 무리수이야기, 네이버 오늘의 과학, 2009-6-9
관련논문
- Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)
- Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231