"무리수와 초월수"의 두 판 사이의 차이

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* Dirk Huylebrouck, [http://mathdl.maa.org/mathDL/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2886 Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)], The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
 
* 정경훈, [http://navercast.naver.com/science/math/561 무리수이야기], 네이버 오늘의 과학, 2009-6-9
 
* 정경훈, [http://navercast.naver.com/science/math/561 무리수이야기], 네이버 오늘의 과학, 2009-6-9
  
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==관련논문==
 
==관련논문==
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* Tretkoff, Paula. 2014. “Transcendence and CM on Borcea-Voisin Towers of Calabi-Yau Manifolds.” arXiv:1407.2611 [math], July. http://arxiv.org/abs/1407.2611.
  
* [http://mathdl.maa.org/mathDL/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2886 Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)]
 
** Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
 
 
 
  
 
   
 
   

2014년 7월 11일 (금) 04:32 판

개요

  • 복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함
    • 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.\[a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\]
    • 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방
  • 대수적수론 에 비해 훨씬 어렵고, 체계적인 이론이 확립되어 있지 않음.
  • 보통 주기 (period)나 regulator로 얻어지는 수가 초월수인지에 관심을 가짐



무리수의 예

$$ \frac{\zeta(3)}{\pi^3} \stackrel{?}{\in}\mathbb{Q} $$

초월수의 예

일차독립과 대수적독립

린데만-바이어슈트라스 정리

  • 린데만-바이어슈트라스 정리 대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 \(\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})\)의 transcendence degree가 n이다.



겔폰드-슈나이더 정리

  • 겔폰드-슈나이더, 1934
  • \(\alpha \ne 0\),\(\alpha \ne 1\),\(\beta\notin \mathbb{Q}\) 인 복소수 \(\alpha\)와 \(\beta\) 가 대수적수이면, \(\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha}\) 는 초월수이다.
  • 겔폰드-슈나이더 정리 항목 참조



베이커의 정리



메모



관련된 고교수학 또는 대학수학



관련된 항목들



사전 형태의 자료



관련도서


리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Tretkoff, Paula. 2014. “Transcendence and CM on Borcea-Voisin Towers of Calabi-Yau Manifolds.” arXiv:1407.2611 [math], July. http://arxiv.org/abs/1407.2611.



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