"분수와 순환소수"의 두 판 사이의 차이
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| − | + | ==142857의 여러가지 성질== | |
* 142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571<br> 142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142 | * 142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571<br> 142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142 | ||
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| − | + | ==순환마디의 길이== | |
* <math>1/n</math>의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까? | * <math>1/n</math>의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까? | ||
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| − | + | ==순환마디를 얻는 과정의 이해== | |
* <math>1/7=0.142857142857\cdots</math>를 얻는 나누기 과정 | * <math>1/7=0.142857142857\cdots</math>를 얻는 나누기 과정 | ||
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| − | + | ==cyclic numbers== | |
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A001913 Cyclic numbers: primes with primitive root 10.] | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A001913 Cyclic numbers: primes with primitive root 10.] | ||
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| − | + | ==많이 나오는 질문== | |
* 네이버 지식인<br> | * 네이버 지식인<br> | ||
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* 유리수 | * 유리수 | ||
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| − | + | ==관련된 항목들== | |
* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]] | * [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]] | ||
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| − | + | ==수학용어번역== | |
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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* Higher mathematics from elementary point of view<br> | * Higher mathematics from elementary point of view<br> | ||
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| − | + | ==관련논문== | |
* Lawrence Brenton , [http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3329&bodyId=3682 Remainder Wheels and Group Theory] College Mathematics Journal, vol. 39, no. 2, March 2008, pp. 129-135 | * Lawrence Brenton , [http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3329&bodyId=3682 Remainder Wheels and Group Theory] College Mathematics Journal, vol. 39, no. 2, March 2008, pp. 129-135 | ||
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* 142857의 신비 (피타고라스의 창)<br> | * 142857의 신비 (피타고라스의 창)<br> | ||
2012년 10월 23일 (화) 15:58 판
개요
- 유리수 또는 분수를 십진법으로 전개하면, 순환마디를 얻을 수 있다
- 초등정수론에 대해 공부할 수 있는 소재가 풍부한 좋은 수학 문제
- 순환마디의 길이는 어떻게 결정되는가의 문제 등
- 수학자 가우스가 소년 시절에 이에 대하여 연구하였다
- 1/n 의 순환소수 전개 목록을 함께 참고
142857의 여러가지 성질
- 142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571
142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142 - 142857 X 7 = 999999
- 142 + 857 = 999
- 14 + 28 + 57 = 99
- 이 성질은 다음 순환소수 전개를 통하여 이해할 수 있다
\(1/7=0.142857142857\cdots\) - 142857의 성질과 해설
순환마디의 길이
- \(1/n\)의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까?
- n이 2와 5를 나누지 않는 경우를 생각하자
- \(10^k \equiv 1 \pmod n\) 를 만족시키는 가장 작은 자연수 \(k\)가 순환 마디의 길이가 된다
- 군론의 언어를 사용하면 원소 10의 군 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 에서의 order가 바로 \(1/n\)의 순환마디의 길이가 됨
- 오일러의 totient 함수 의 순환마디의 길이는 \(\varphi(n)\) 를 나누게 된다
- 군 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 정의에 대해서는 합동식과 군론 참조
순환마디를 얻는 과정의 이해
- \(1/7=0.142857142857\cdots\)를 얻는 나누기 과정
- 주목해서 보아야 하는 것은 위에 나타는 몫 142857 이 아니라, 나누기의 중간 과정에서 7로 나눈 나머지로 등장하는 빨간 줄을 친 수들이다.
1,3,2,6,4,5, 그리고 1 - 빨간 부분의 숫자가 1로 시작하여, 3,2,6,4,5 를 지나서 1이 다시 나오는 순간, 위의 몫 부분에서는 142857이 다시 반복되게 됨을 관찰할 수 있음
- 따라서 언제 다시 빨간 1이 다시 나오는가가, 순환마디의 길이를 결정하게 된다.
- 빨간 줄 친 숫자들, 1,3,2,6,4,5, 1 가 얻어진 과정의 관찰
- 나누기 과정을 유심히 들여다 보면, 다음과 같은 것을 발견
\(10^0 \equiv 1 \pmod 7\)
\(10^1 \equiv 10 \equiv 3 \pmod 7\)
\(10^2 \equiv 30 \equiv 2 \pmod 7\)
\(10^3 \equiv 20 \equiv 6 \pmod 7\)
\(10^4 \equiv 60 \equiv 4 \pmod 7\)
\(10^5 \equiv 40 \equiv 5 \pmod 7\)
\(10^6 \equiv 50 \equiv 1 \pmod 7\)
- 1,3,2,6,4,5, 1 은 바로 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 들을 7로 나눈 나머지이다
cyclic numbers
하위페이지
많이 나오는 질문
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/decimal_fraction
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련도서 및 추천도서
- Higher mathematics from elementary point of view
- Hans Rademacher
- Chapter 5. Decimal Fractions (pdf)
관련논문
- Lawrence Brenton , Remainder Wheels and Group Theory College Mathematics Journal, vol. 39, no. 2, March 2008, pp. 129-135
- The Alluring Lore of Cyclic Numbers
- Michael W. Ecker, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 14, No. 2 (Mar., 1983), pp. 105-109
- Fractions with Cycling Digit Patterns
- Dan Kalman, The College Mathematics Journal, Vol. 27, No. 2 (Mar., 1996), pp. 109-115
- Repeating Decimals
- W. G. Leavitt, The College Mathematics Journal, Vol. 15, No. 4 (Sep., 1984), pp. 299-308
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)