"무리수와 초월수"의 두 판 사이의 차이

2010년 7월 28일 (수) 15:06 판

복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함
- 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.
  \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\)
- 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방

파이는 초월수이다
자연상수 e는 초월수이다
타원적분
감마함수의 유리수에서의 값
\(\Gamma(\frac{1}{3})\), \(\Gamma(\frac{2}{3})\), \(\Gamma(\frac{1}{4})\), \(\Gamma(\frac{3}{4})\), \(\Gamma(\frac{1}{6})\), \(\Gamma(\frac{5}{6})\)
오일러 베타적분
\(a,b,a+b \in \mathbb{Q-Z}\) 이면 \(B(a,b)\) 는 초월수이다

무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, 적당한 실수 \(A>0\)가 존재하여, 모든 유리수\(p/q\)에 대하여 다음 부등식이 만족된다.

\( \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert > \frac{A}{q^{d}}\)

주어진 \(\epsilon}>0\)에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식

\(\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}\)

의 유리수해 \(p/q\)는 유한하다

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 * [[대수적수론]] 에 비해 훨씬 어렵고, 체계적인 이론이 확립되어 있지 않음.<br>
-*  보통 [[#]]나 regulator로 얻어지는 수가 초월수인지에 관심을 가짐<br>
+*  보통 [[periods|period]]나 regulator로 얻어지는 수가 초월수인지에 관심을 가짐<br>
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 <h5>리우빌 정리</h5>
-무리수이면서 차수가 d인 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 적당한 실수 <math>A>0</math>가 존재하여, 모든 유리수 <math>\frac{p}{q}</math>에 대하여 다음 부등식이 만족된다.
+무리수이면서 차수가 d인 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 적당한 실수 <math>A>0</math>가 존재하여, 모든 유리수<math>p/q</math>에 대하여 다음 부등식이 만족된다.
 <math> \vert \alpha - \frac{p}{q}  \vert > \frac{A}{q^{d}}</math>
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 <math>\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}</math>
-의 유리수해 <math>\frac{p}{q}</math>는 유한하다
+의 유리수해 <math>p/q</math>는 유한하다