"무리수와 초월수"의 두 판 사이의 차이

2010년 7월 28일 (수) 15:16 판

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무리수와 초월수

개요

복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함
- 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.
  \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\)
- 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방

대수적수론 에 비해 훨씬 어렵고, 체계적인 이론이 확립되어 있지 않음.
보통 period나 regulator로 얻어지는 수가 초월수인지에 관심을 가짐

무리수의 예

초월수의 예

파이는 초월수이다
자연상수 e는 초월수이다
타원적분
감마함수의 유리수에서의 값
\(\Gamma(\frac{1}{3})\), \(\Gamma(\frac{2}{3})\), \(\Gamma(\frac{1}{4})\), \(\Gamma(\frac{3}{4})\), \(\Gamma(\frac{1}{6})\), \(\Gamma(\frac{5}{6})\)
오일러 베타적분
\(a,b,a+b \in \mathbb{Q-Z}\) 이면 \(B(a,b)\) 는 초월수이다

일차독립과 대수적독립

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 * [[감마함수]]의 유리수에서의 값<br><math>\Gamma(\frac{1}{3})</math>, <math>\Gamma(\frac{2}{3})</math>, <math>\Gamma(\frac{1}{4})</math>, <math>\Gamma(\frac{3}{4})</math>, <math>\Gamma(\frac{1}{6})</math>, <math>\Gamma(\frac{5}{6})</math><br>
 * [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]]<br><math>a,b,a+b \in \mathbb{Q-Z}</math> 이면 <math>B(a,b)</math> 는 초월수이다<br>
-<h5>디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)</h5>
-* [[search?q=%EB%94%94%EB%A6%AC%ED%81%B4%EB%A0%88%20%EA%B7%BC%EC%82%AC%EC%A0%95%EB%A6%AC(Dirichlet's%20approximation%20theorem)&parent id=3622851|디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)]]
-<h5>리우빌 정리</h5>
-무리수이면서 차수가 d인 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 적당한 실수 <math>A>0</math>가 존재하여, 모든 유리수<math>p/q</math>에 대하여 다음 부등식이 만족된다.
-<math> \vert \alpha - \frac{p}{q}  \vert > \frac{A}{q^{d}}</math>
-<h5>Thue-Siegel-Roth 정리</h5>
-주어진 <math>\epsilon}>0</math>에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식
-<math>\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}</math>
-의 유리수해 <math>p/q</math>는 유한하다
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 <h5>관련링크 및 웹페이지</h5>
-* http://modular.math.washington.edu/swc/aws/08/
+* [http://www.math.jussieu.fr/~miw/coursHCMUNS2007.html Introduction to Diophantine methods: irrationality and transcendence]
 * [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/main785.html Transcendental number theory]<br>
 ** Michael Filaseta Lecture notes
 ** [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes7.pdf Lindemann's Theorem]
 ** [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes8.pdf The Gelfond-Schneider Theorem and Some Related Results]
+* http://modular.math.washington.edu/swc/aws/08/

"무리수와 초월수"의 두 판 사이의 차이

2010년 7월 28일 (수) 15:16 판

목차

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

무리수의 예

초월수의 예

일차독립과 대수적독립

린데만-바이어슈트라스 정리

겔폰드-슈나이더 정리

베이커의 정리

메모

많이 나오는 질문과 답변

관련된 고교수학 또는 대학수학

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