"무리수와 초월수"의 두 판 사이의 차이

2012년 10월 31일 (수) 16:53 판

==개요

복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함
- 유리수 계수방정식은 적당한 정수를 곱하여 다음과 같은 형태의 정수계수방정식으로 표현할 수도 있음.
  \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0, a_i \in \mathbb{Z}\)
- 복소수 중에서 어떠한 정수계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 해도 무방

파이는 초월수이다
자연상수 e는 초월수이다
타원적분
겔폰드 상수 \(e^\pi\)
- 겔폰드-슈나이더 정리 참조
감마함수의 유리수에서의 값
\(\Gamma(\frac{1}{3})\), \(\Gamma(\frac{2}{3})\), \(\Gamma(\frac{1}{4})\), \(\Gamma(\frac{3}{4})\), \(\Gamma(\frac{1}{6})\), \(\Gamma(\frac{5}{6})\)
오일러 베타적분
\(a,b,a+b \in \mathbb{Q-Z}\) 이면 \(B(a,b)\) 는 초월수이다

린데만-바이어슈트라스 정리
대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 \(\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})\)의 transcendence degree가 n이다.

==겔폰드-슈나이더 정리

(정리) 겔폰드-슈나이더, 1934
\(\alpha \ne 0\),\(\alpha \ne 1\),\(\beta\notin \mathbb{Q}\) 인 복소수 \(\alpha\)와 \(\beta\) 가 대수적수이면, \(\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha\) 는 초월수이다.
겔폰드-슈나이더 정리 항목 참조

==베이커의 정리

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-<h5>개요</h5>
+==개요</h5>
 *  복소수 중에서 어떠한 유리수 계수방정식도 만족시킬 수 없는 수를 초월수라 함<br>
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-<h5>겔폰드-슈나이더 정리</h5>
+==겔폰드-슈나이더 정리</h5>
 *  (정리) 겔폰드-슈나이더, 1934<br><math>\alpha \ne 0</math>,<math>\alpha \ne 1</math>,<math>\beta\notin \mathbb{Q}</math> 인 복소수 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math> 가 대수적수이면, <math>\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha</math> 는 초월수이다.<br>
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-<h5>베이커의 정리</h5>
+==베이커의 정리</h5>
 * [[베이커의 정리]]<br>
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-<h5>관련링크 및 웹페이지</h5>
+==관련링크 및 웹페이지</h5>
 * [http://www.math.jussieu.fr/%7Emiw/coursHCMUNS2007.html Introduction to Diophantine methods: irrationality and transcendence]